¿Limites qué tienden a infinito como resolverlas?

Imagino que el límite es:

$$\begin{align}&\lim_{x \to\infty} \frac{2x^2+x+1}{4x^2+x+6}\\ &\end{align}$$

Hay unas normas que dicen:

Se toma el término de mayor grado del numerador y del denominador.

Si el término de mayor grado está en el numerador el límite es infinito. El signo depende de la aplicación de la regla de los signos a los términos de mayor grado

Si el término de mayor grado está en el denominador el límite es cero.

Si los grados son iguales el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.

En este caso el grado mayor es 2 y los coeficientes son 2 y 4, luego el límite es

2/4 = 1/2.

Otra forma es hacerlo como si no supieramos nada de eso. Entonces vamos a dividir numerador y denominador por n^2 con lo que el límite es el mismo:

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{2x^2+x+1}{x^2}}{\frac{4x^2+x+6}{x^2}}= \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{4+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}}=\\ &\\ &\text {Todas las fracciones que tienen x en el denominador tienden a cero,}\\ &\text {por lo que el límite queda:}\\ &\\ &\frac{2+0+0}{4+0+0}= \frac{2}{4}=\frac{1}{2}\end{align}$$

Y eso es todo.