Teorema de la bisectriz
Hola, espero que me puedan ayudar a demostrar este teoremita:
La bisectriz interna AL del ángulo en A de un triángulo ABC, divide internamente al lado opuesto BC en razón AB/CA, esto es:
BL/LC = AB/CA
Gracias :)
La bisectriz interna AL del ángulo en A de un triángulo ABC, divide internamente al lado opuesto BC en razón AB/CA, esto es:
BL/LC = AB/CA
Gracias :)
Respuesta de joancaso
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1.- Demostración:
Sea DE el punto de intersección de la paralela de AL que pasa por C y la prolongación de AB.
Por Thales tenemos:
AB/BL=AD/CL
Reacomodando:
AB/AD=BL/CL
Ya solo falta demostrar AD=AC
El angulo DAC es complementario de BAC, es decir, DAC=180-BAC y el angulo BDC es la mitad del angulo BAC (recordemos que es la paralela a la bisectriz), BDC=BAC/2.
La suma de los angulo interiores de un triangulo es 180.
Entonces:
DAC+ACD+CDA=180
(180-BAC)+ACD+(BAC/2)=180
Resolviendo:
ACD=BAC/2
CDA=BAC/2
Entonces es triangulo isosceles y AD=AC, que es lo que faltaba.
AB/AD=BL/CL
AB/AC=BL/LC)***
2.- Demostracion:
Nombramos angulos:
Angulo BAC=2a, Angulo ABC=b, Angulo ACB=c, A. ALB=d, A. ALC=e.
Por ley de senos tenemos que:
1.- BL/sen(a)= AB/sen(d)
2.- LC/sen(a)= AC/sen(e)
Luego por identidad trigonometrica,
sen(d)=sen(180-d)
De donde concluimos
sen(d)=sen(e)
Entonces despejando 1 y 2
3.- BL/AB = sen(a)/sen(d)=sen(a)/sen(d)
4.- Cl/AC = sen(a)/sen(e)=sen(a)/sen(d)
Por lo tanto:
5.- BL/AB=CL/AC
Reacomodando:
6.- BL/CL=AB/AC
Que es lo que queríamos demostrar.
Sea DE el punto de intersección de la paralela de AL que pasa por C y la prolongación de AB.
Por Thales tenemos:
AB/BL=AD/CL
Reacomodando:
AB/AD=BL/CL
Ya solo falta demostrar AD=AC
El angulo DAC es complementario de BAC, es decir, DAC=180-BAC y el angulo BDC es la mitad del angulo BAC (recordemos que es la paralela a la bisectriz), BDC=BAC/2.
La suma de los angulo interiores de un triangulo es 180.
Entonces:
DAC+ACD+CDA=180
(180-BAC)+ACD+(BAC/2)=180
Resolviendo:
ACD=BAC/2
CDA=BAC/2
Entonces es triangulo isosceles y AD=AC, que es lo que faltaba.
AB/AD=BL/CL
AB/AC=BL/LC)***
2.- Demostracion:
Nombramos angulos:
Angulo BAC=2a, Angulo ABC=b, Angulo ACB=c, A. ALB=d, A. ALC=e.
Por ley de senos tenemos que:
1.- BL/sen(a)= AB/sen(d)
2.- LC/sen(a)= AC/sen(e)
Luego por identidad trigonometrica,
sen(d)=sen(180-d)
De donde concluimos
sen(d)=sen(e)
Entonces despejando 1 y 2
3.- BL/AB = sen(a)/sen(d)=sen(a)/sen(d)
4.- Cl/AC = sen(a)/sen(e)=sen(a)/sen(d)
Por lo tanto:
5.- BL/AB=CL/AC
Reacomodando:
6.- BL/CL=AB/AC
Que es lo que queríamos demostrar.
