¿Cómo encontrar números críticos (máximos y mínimos)?
De la siguiente función:
$$f(x)= \frac{x}{x^2+1}$$De acuerdo a la primera derivada, encuentre los números críticos (máximos y mínimos), intervalo donde crece y decrece.
1 Respuesta
Si una función es derivable los máximos y mínimos relativos están en los puntos donde derivada es cero, la función crece donde la derivada es positiva y decrece donde es negativa
Vamos a calcular la derivada
$$f´(x)=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$El denominador es siempre positivo (en concreto mayor que 1) luego el signo y los puntos donde vale cero la derivada dependen exclusivamente del numerador
1 - x^2 = 0
1 = x^2
x = +- 1
Esto divide R en tres intervalos, en cada uno de ellos es constante el signo de la derivada
(-oo, -1) (-1, 1) (1,+oo)
En (-oo, -1) tomamos x=-2 y tenemos f '(-2) = 1 - (-2)^2 = -3 negativo
En (-1, 1) tomamos x=0 y tendremos f '(0) = 1 positivo
En (1, +oo) tomamos x=2 y tendremos f '(2) = 1 -2^2 = -3 negativo
Luego la función f(x) es
Creciente en (-1,1)
Decreciente en (-oo, -1) U (1, +oo)
En x=-1 tiene un mínimo porque la función decrece hasta ese punto y luego crece
En x= 1 tiene un máximo porque la función crece hasta ese punto y después decrece
Y eso es todo.
