Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Mejor vamos a llamarla ln, aquí en España es lo que se usa, o al menos se usaba cuando yo estudié. Solo los muy influidos por la cultura anglosajona y los libros en inglés usaban log. Yo miro mi calculadora nueva y sigo viendo log y ln, luego debe seguir siendo así.

Los intervalos de crecimiento serán aquellos donde la derivada primera sea positiva y los de decrecimiento donde sea negativa.

Calculamos la derivada para empezar.

f(x) = ln(x^2+1) - x

f'(x) = 2x/(x^2+1) - 1

Si la función fue continua nos bastaría con calcular las raíces de la derivada. Y así sucede porque el denominador es siempre mayor que cero y por lo tanto no hay puntos de discontinuidad.

2x/(x^2+1) - 1 = 0

Multiplicamos por (x^2+1)

2x - x^2 - 1 = 0

cambiamos de signo y ponemos en orden

x^2 - 2x + 1 = 0

esto es el cuadrado perfecto de un binomio

(x-1)^2 = 0

x-1 = 0

x = 1

Luego x=1 es el único punto donde la función vale 0, veamos cuanto vale la derivada en el intervalo a la izquierda y a la derecha para conocer su signo.

Recuerdo que

f'(x) = 2x/(x^2+1) - 1

En [-oo, 1) tomamos x=0;

2·0/(0^2+1) - 1 = - 1 es negativo y la función decrece

En (, +oo) tomamos x=2

2·2/(2^2+1) - 1 = 4/5 - 1 = -1/5 es negativo y la función decrece

Luego la función es siempre decreciente, decrece en (-oo, +oo)

Y eso es todo.