Prueba de independencia
Se desea comparar la efectividad de dos análisis de laboratorio para detectar
la presencia de bacterias en equinodermos (erizo rojo), para ello se seleccionados muestras independientes de Loxechinus albus (erizo rojo comestible) en un
sector de caleta coloso y los resultados de los análisis fueron los siguientes:
deteccion de la bacteria analisis si no TOTAL 1 11 39 50 2 8 42 50 TOTAL 19 81 100
a) Pruebe la hipótesis de que la detección de la bacteria es independiente del
tipo de análisis usado, con un nivel de signi.cación de 0.05 b) Determine el
grado de relación entre las variables.
1 Respuesta
a) Vamos a calcular los valores que debía tener la tabla bajo el supuesto de que fueran independientes. Cada celda de la tabla tendría el producto del total de su fila por el total de su columna dividido entre el numero total de caos
Por ejemplo, la primera casilla sería 50·19/100 = 9.5, la de su derecha será 50·81/100 = 40.5, esta sería la tabla si fueran independientes
Deteccion de la bacteria
Analisis si no TOTAL
1 9.5 40.5 50
2 9.5 40.5 50
TOTAL 19 81 100El estadístico de contraste es
$$\begin{align}&\chi^2= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^k \frac{(n_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}\\ &\\ &\text{donde los }n_{ij}\text{ son los valores auténticos de la tabla}\\ &\text{y los }e_{ij}\text{ son los de la tabla de independientes}\end{align}$$El valor del estadístico será
Chi^2 = (11-9.5)^2 / 9.5 + (39-40.5)^2 / 40.5 + (8-9.5)^2 / 9.5+ (42-40.5)^2 / 40.5 =
(1.5)^2 / 9.5 + (1.5)^2 / 40,5 + (1.5)^2 / 9,5 + (1.5)^2 / 40.5 =
0.2368421 + 0.0555555 + 0.2368421 + 0.0555555 = 0.5847942
Los grados de libertad de esta Chi^2 son (filas-1)(columnas-1) = 1·1 = 1
Ahora calculamos el punto de rechazo, buscando en una Chi^2 con 1 grado de libertad el valor que hace que la probabilidad a la derecha sea 0.05.
Dicho valor es 3.84
Y el estadistico nos ha dado 0.5847942 que es un valor mucho menor que el permitido luego no hay rechazo y se da por válida la hipótesis de que son independientes.
Luego podemos afirmar que la detección de la bacteria es independiente del tipo de análisis usado, con un nivel de significación de 0.05
b) El grado de relación es la covarianza de las variables dividida entre el producto de las desviaciones
$$\begin{align}&\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X·\sigma_Y}=\\ &\\ &\\ &\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-[E(X)]^2}\sqrt{E(Y^2)-[E(Y)]^2}}=\end{align}$$Pero espera, eso es para variables cuantitativas. Entonces no sé que es lo que piden, en tu libro lo dirá o habréis hecho algún ejercicio parecido. Si acaso me dices cómo lo han hecho.
Y eso es todo.
