Demostración Grupo abeliano

Lo demostramos por inducción:

Para n= 1 se cumple

(ab)^1 = ab

a^1·b^1 = ab

luego (ab)^1 = a^1·b^1

Supongamos que se cumple para n-1 y vamos a ver que se cumple para n

(ab)^(n-1) = a^(n-1)·b^(n-1)

(ab)^n = (ab)[(ab)^(n-1)] =( ab)^[a^(n-1)·b^(n-1)]=

Vamos a sobreentender la propiedad asociativa porque nos vamos a llenar de paréntesis y corchetes que no nos van a dejar ver lo esencial.

Aplicamos la propiedad conmutativa a ab

= b·a·a^(n-1)·b^(n-1) =

b·a^n·b^(n-1) =

Aplicamos la propiedad conmutativa a los dos primeros

=a^n·b·b^(n-1) = a^n·b^n

Luego cumple las condiciones de la inducción y el conjunto para el que se cumple es todos los números naturales.

Con grupos no abelianos no tiene porque cumplirse, hemos usado la propiedad conmutativa en la demostración y en grupos no abelianos no se cumple siempre.

Intentemos buscar un contraejemplo para confirmarlo.

Sea el grupo de las permutaciones de tres elementos.

tomemos los elementos (1,2) y (1,3)

(1,2)·(1,3) = (1,2,3)

(1,2)^2 = (1,3)^2 = e (Donde e es el elemento neutro)

[(1,2)·(1,3)]^2 = (1,2,3)·(1,2,3) =(1,3,2)

Mientras que

(1,2)^2·(1,3)^2 = e·e = e

Luego [(1,2)·(1,3)]^2 distinto de (1,2)^2·(1,3)^2 y la propiedad no se cumple en este grupo no abeliano.

Y eso es todo.