Ejercicios de espacios vectoriales
He empezado el curso de álgebra lineal y tengo unos ejercicios sobre espacios vectoriales y quisiera que me ayudaras a resolverlos:
Determinar cuales conjuntos son espacios vectoriales bajo las operaciones de adición y multiplicación por un escalar. Para aquello que no sean espacios vectoriales decir que propiedades o axiomas no se cumplen.
1. El conjunto de todas las parejas de números reales (x, y) con las operaciones
(x+y) +(x',y') = (x+x'+ 1,y+y'+1) y k(x,y)=(kx,ky), donde k es un escalar
Pd: los otros ejercicios te los envío en preguntas separadas. Explicame que pueda entender este tema, cual es el secreto o habilidad para resolver estos ejercicios.
1 Respuesta
El espacio vectorial debe cumplir estas propiedades para la suma de vectores. Vamos a comprobarlo.
1) Es conmutativa:
(x,y)+(z,t) = (x+z+1, y+t+1) = (z+x +1, t+y+1) = (z,t) + (x,t)
2) Es asociativa
[(x,y)+(z,t)]+(u,v) = (x+z+1, y+t+1)+(u,v) = (x+z+1+u+1, y+t+1+v+1)
(x,y)+[(z,t)+(u,v)] = (x,y) + (z+u+1,t+v+1) = (x+z+u+1+1, y+t+v+1+1)
3) Tiene elemento neutro el (-1,-1)
(x,y)+(-1,-1) = (x-1+1, y-1+1) = (x,y)
en el otro sentido se cumple por ser conmutativa.
4) Tiene elemento inverso.
dado (x,y) tomamos el (-x-2,-y-2)
(x,y)+(x-2,y-2) = (x-x-2+1, y-y-2+1) = (-1,-1) que es el elemento nuestro.
en el otro sentido se cumple por ser conmutativa.
Y el producto por un escalar debe cumplir estas
5) Asociativa k·(ju) =(kj)u para k,j €K y u €V
k[j(x,y)] = k(jx, jy) = (kjx, kjy) = kj(x, y)
6) 1 de K es elemento neutro
1(x,y) = (1·x, 1·y) = (x, y)
7) distributiva del producto respecto de la suma de vectores
a(u+v) = au +av con a€K y u,v €V
a[(x,y) + (z,t)] = a(x+z+1, y+t+1) = (a(x+z+1), a(y+t+1))=(ax+az+a, ay+at+a)
a(x,y) + a(z,t) = (ax,ay) + (az,at) = (ax+az+1, ay+at+1)
ESTA NO LA CUMPLE
8) distributiva del producto respecto de la suma de escalares
(a+b)u = au+bu con a,b € K y u €V
(a+b)(x,y) = ((a+b)x, (a+b)y) = (ax+bx, ay+by)
a(x,y)+b(x,y) = (ax+ay)+(bx+by) = (ax+bx+1, ay+by+1)
Esta tampoco lo cumple.
Y eso es todo.
