Resuelve el siguiente problema con relación a matrices.
Sea G el conjunto de todas las matrices reales 2 x 2
$$\begin{align}&(a&b\\&0&d)\end{align}$$Donde
$$\begin{align}&ad≠0\end{align}$$Probar que G forma un grupo bajo la multiplicación de matrices. ¿Es G un grupo abeliano?
1 Respuesta
Amo Mo!
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Yo creo quee ste ejercicio no es para probar una por una las propiedades sino para partiendo de que las matrices nxn con determinante no nulo, con el producto son un grupo, demostrar que este conjunto que nos dan es un subgrupo de él.
El teorema de cararterización de subgrupos dice que dado un subconjunto H distinto del vacío de un grupo G, si se cumple esta condición:
i) Si a,b € H ==> a·b^(-1) € H
entonces H es un subgrupo de G.
Ya nos dicen que ad<>0, eso garantiza que existe la inversa.
Dada una matriz N
(I j)
(0 k)
Vamos a ver cuál es la inversa. Se toman los adjuntos
(K 0)
(-J i)
Se tranponen
(K -j)
(0 i)
Y se divide por el determinante
(k/(ik) -j/(ik))
( 0 i/(ik))
como i,k <>0
(1/i -j/(ik))
( 0 1/k )
Y sea M una mariz como la del enunciado, multiplicada por esta es
M·N^(-1) =
·
(a b) (1/i -j/(ik) ) (a/i -aj/(ik) + b/k )
(0 d) x ( 0 1/k ) = ( 0 d/k )
Es una matriz que tiene la forma de las matrices pr tener 0 en el elemento diagonal-inferior y el producto de la diagonal es
ad / (ik)
Que está definido por ser ik<>0 y es distinto de 0 por ser ad<>0.
Luego se cumple la condición es este conjunto es un subgrupo de las matrices cuadradas 2x2 con determinante distinto de 0.
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Y eso es todo.
¡Gracias! Hola muchas gracias por el apoyo y desarrollo del problema, le agradezco todo su apoyo.
saludos.
Parece que ya lo tienes todo aclarado, puntúa la pregunta por favor, aparece como no puntuada.
