Probabilidad proporción media
1. Un partido político cree que el 60% del electorado está a favor de su programa. Como su líder encuentra que esta predicción es demasiado optimista decide hacer un sondeo con una muestra de 90 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 60 personas estén a favor de su programa?
1 Respuesta
La variable aleatoria es una binomial con n=400 y p=0.17
Se puede resolver a la antigua o a la moderna. Me temo que querrán que lo hagas a la antigua. Entonces consiste en aproximar la binomial por una normal con media=np y desviación estándar = sqrt[np(1-p)], que este caso será
media = 400 · 0.17 = 68
desviación = sqrt(400 · 0.17 · 0.83) =sqrt(56.44) = 7.512656
Para que esta aproximación de una variable binomial por una normal sea buena se deben cumplir una serie de detalles, que n >=30 y que p no sea muy grande ni muy pequeña, digamos entre 0.1 y 0.9. Ambas cosas se cumplen.
En un escrito de internet que vi las condiciones eran n>20 , np>=5 y n(1-p)>=5. También se cumplen las condiciones de este escrito.
Y luego está el problema de que la binomial es discreta y la normal es continua. SI tu pides la probabilidad de 20 por decir algo, en la binomial será una cantidad más o menos grande, mientras que en la normal es cero. Para solucionar esto a cada numero entero se la adjudica la probabilidad del intervalo [n-0.5, n+0.5], de esta forma se siguen estas operaciones.
Llamemos B a la binomial y X a la N[np, sqrt(np(1-p)] y k>=0 es un número entero
P(B=k) = P(X<=k+0.5) - P(X<=k-0.5)
Para intervalos se siguen estas reglas
i) Se resta 0.5 al número izquierdo si entra y se le añade si no.
Ii) Se añade 0.5 al número derecho si entra y se le resta si no.
Estas dos reglas se pueden expresar también como si entra un extremo se estira 0.5 el intervalo y si no entra se encoge 0.5. Teniendo en cuenta que por la izquierda se estira hacia la izquierda y por la derecha hacia la derecha.
Iii) Si en la binomial entra el cero por la izquierda equivale al -infinito de la normal
iv) Si entra el n por la derecha en la binomial equivale al +infinito de la normal
Por ejemplo
P(B<k) = P(0 <= B < k) = P(-infinito < X <= k-0.5) = P(X <= k-0.5)
P(B>=k) = P(k <= B <= n) = P(k-0.5 <= X <= +infinito) = P(X >= k-0.5) = 1 - P(X<=k-0.5)
P(k<B<j) = P(k+0.5 <= X <= j-0.5) = P(X<=j-0.5)-P(X<=k+0.5)
P(k<=B<j) = P(k-0.5 <= X <= j-0.5) = P(X<=j-0.5) - P(X<=k-0.5)
Y después de tanta teoría vamos con el problema.
1) El 20% de 400 es 20x400/100 = 80 personas
Como nos dicen más del 20% se toma en sentido literal, el 80 no sirve
La X es una N(68, 7.512656) que se tipifica en una Z ~ N(0,1) mediante
Z = (X-68) / 7.512656
P(B>80) = P(X>=80.5) = P[Z >= (80.5-68)/7.512656] = P(Z>= 1.66385896) =
1-P(Z<=1.66385896) =
Tabla(1.66) = 0.9515
Tabla(1.67) = 0.9525
diferencia = 0.0010
Valor para 1.66385896 = 0.9515 +0.0010 · 0.385896 = 0.951885896
= 1- 0.951885896 = 0.048114104
Veamos cuál sería el valor exacto calculado con Excel.
1- DISTR.BINOM.N(80;400;0.17;VERDADERO) = 1- 0.94954425 = 0.050455752
No se puede decir que fuera muy exacta la combinación de aproximar las variable aleatorias y calcular con una tabla de 4 decimales, pero era lo que tenían antes.
2) ¿Cuál es la probabilidad de que entre el 18% y 21% de las personas tengan ingresos grabables por más de $300 000?
18% de 400 = 18·4 = 72
21% de 400 = 21·4 = 84
Aquí no han sido claros respecto si entran los extremos o no, la preposición "entre" no es tajante. Voy a suponer que sí entran
P(72<=B<= 84) = P(71.5 <= X <= 84.5) =
P[Z <= (84.5 - 68)/7.512656] - P[Z <=(71.5-68)/7.512656] =
P(Z <= 2.196293827) - P(Z <= 0.4658805088) =
Interpolaré en la primera
Tabla(2.19) = 0.9857
Tabla(2.20) = 0.9861
diferencia = 0.0004
Valor para 2.1963 = 0.9857+ 0.0004 · 0.63 = 0.985952
Y en la segunda
Tabla(0.46) = 0.6772
Tabla(0.47) = 0.6808
Diferencia = 0.0036
Valor para 0.46588 = 0.6772 + 0.0036 · 0.588 = 0.6793168
= 0.985952 - 0.6793168 = 0.3066352
De nuevo haremos las cuentas exactas con Excel
P(72 <= B <= 84) = P(B<=84) - P(B<=71)=
DISTR.BINOM.N(84;400;0.17;VERDADERO)=0.98408167
DISTR.BINOM.N(71;400;0.17;VERDADERO)=0.68340876
=0.98408167- 0.72850985 = 0.30067291
3) ¿Entre qué limites cabe esperar que este el 90% de la proporción media de las muestras?
Tampoco son del todo claros, supondré limites centrados respecto de la media.
Si en torno a la media de una N(0,1) queremos tener el 90% dejaremos el 5% a cada lado
El límite derecho lo marcará el valor que hace que la tabla valga 0.95. Dicho valor es 1.645 y el izquierdo será -1.645
Ahora vamos a volver desde la N(0, 1) a la N(68, 7.512656)
1.645 = (X-68) / 7.51265
X = 1.645 · 7.51265 + 68 = 12.3583 + 68 = 80.3583
Y el limite izquierdo es lo mismo pero restando el radio
68 - 12.3583 = 55.6417
Luego los limites para el 90% de la proporción media son:
[55.6417, 80.3583]
Y eso es todo. Me gustaría saber si aun seguís resolviendo estos problemas tal como lo he hecho yo con aproximación a una normal y tablas o los resolvéis de alguna manera más nueva, porque con ese método viejo se hace muy pesado y no sé si se usa ya.
Hola lo que pasa es que creo que te confundiste de problema o hubo algún error al mandarlo pues la solución no corresponde al problema, muchas gracias.
Si, de alguna forma me lie y puse aquí la respuesta de otro que estaba resolviendo a la vez. Una vez has escrito 5 lineras ya no se ve el enunciado y no te das cuenta dónde estás. Por supuesto que no tiene nada que ver la respuesta con el enunciado.
Se trata de una variable binomial con n=90 Y p=0.60 y lo que debemos hallar es la probabilidad e que tome valores comprendidos entre 0 y 60.
Este es un problema del siglo pasado, porque ahora con los ordenadores puedes calcularlo sencillamente. Por ejemplo con Excel:
DISTR.BINOM.N(60;90;0.6;VERDADERO) = 0.92029161
Antes había que hacer estas piruetas y además para un resultado no muy preciso.
Puesto que n>=30 y p no es muy grande ni muy pequeño según unos libros, o según otros porque np = 90 · 0.6 = 54 >= 5 y n(1-p) = 90 · 0.4 = 36 >= 5, sea por cualquiera de esos dos criterios o incluso por otros, podemos aproximar la variable binomial de n=90 y p =0.6 por una variable normal con:
media = np = 54
desviación = sqrt[np(1-p)]= sqrt(21.6) = 4.64758
Lo que pasa es que los límites de la variable binomial no se trasladan directamente a la normal sino que hay que hacer unos arreglos.
i) Si un número entero entra dentro de la binomial hay que estirar el intervalo para la normal en 0.5, es decir, si es límite izquierdo se resta 0.5, si es derecho se suma 0.5 y si es solo un número m se toma el intervalo [m-0.5, m+0.5]
Ii) Si un número entero no entra se encoge el extremo para la normal en 0.5, es decir, si es límite izquierdo se le suma 0.5 y si es derecho se le resta 0.5
Iii) Si el límite izquierdo es 0 se considera -infinito
IV) Si el derecho es n se considera +infinito
En nuestro caso los límites son 0 y 60 y entran ambos, luego los límites para la normal serían:
Por la izquierda -infinito
por la derecha 60+0.5 = 60.5
Asi que debemos hallar
P[N(54, 4.64758) <= 60.5] =
La tipificamos con una Z = (X-54)/4.64758 ~ N(0,1) para poder hallar sus valores en la tabla
= P[N(0,1) <= (60.5 - 54)/4.64758)] = P[N(0,1) <= 1.398577324
Si se quiere se puede redondear con 3 o 4 decimales, al fin y al cabo la estadística (y más en concreto las tablas de 4 decimales) es tan imprecisa que los redondeos no producen más desastres que los que ya produce por sí misma.
Tabla(1.39) = 0.9177
Tabla(1.40) = 0.9192
Diferencia = 0.0013
Hallamos el incremento de la función sobre 1.39 para 1.3986
0.01 -----> 0.0015
0.0086 ---> x
x = 0.0015 · 0.0086 / 0.01 = 0.00129
Valor interpolado para 1.2986 = 0.9177 + 0.00129 = 0.91899
Luego con el método académico antiguo (el que creo te piden) la probabilidad es:
P(personas a favor <= 60) = 0.91899
Que vemos no es del todo exacto contra el 0.92029161 del método real.
Y eso es todo.
