Pregunta de calculo avanzado 2

Bueno yo lo hice que sirviera para funciones en coordenadas cartesianas, pero la circunferencia no es una función en tales coordenadas.

Supongamos que el radio es r y el punto fijo (0,0) que es donde se apoya la circunferencia.

Vamos a hacer la parte de la cicloide correspondiente a cuando la circunferencia se apoya en su rama de abajo. La circunferencia tiene ecuación

(y-r)^2 + x^2 = r^2

y la parte de abajo es

y = r-sqrt(r^2-x^2)

y el parámetro t estará en el intervalo [-r, r]

y' = x/sqrt(r^2-x^2)

$$\begin{align}&Apoyo(t)=\int_0^t \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\;dx =\\ &\\ &\\ &\int_0^t \frac{r\,dx}{\sqrt{r^2-x^2}}=\\ &\\ &\\ &r·\left[ arcsen(x/r)\right]_0^t = r·arcsen(t/r)\end{align}$$

De acuerdo con las fórmulas que escribí en el ejercicio al que aludes, aplicadas al punto (a,b)=(0,0) tenemos:

$$\begin{align}&y(t) = \frac{|-r+\sqrt{r^2-t^2}+ \frac{t^2}{\sqrt{r^2-t^2}}|}{\sqrt{1+\frac{t^2}{r^2-t^2}}}=\\ &\\ &\frac{|-r \sqrt{r^2-t^2}+r^2-t^2+t^2|}{|r|}=\\ &\\ &\\ &\frac{|r^2-r \sqrt{r^2-t^2}|}{|r|}= r-\sqrt{r^2-t^2}\end{align}$$

$$\begin{align}&x(t) =\sqrt{t^2+(-r+\sqrt{r^2-t^2})^2- (r-\sqrt{r^2-t^2})^2}+r·arcsen(t/r)=\\ &\\ &= t + r·arcsen(t/r)\\ &\\ &\text {Luego tenemos la ecuación paramétrica}\\ &\\ &(x,y) = (t + r·arcsen(t/r)\;,\;\; r-\sqrt{r^2-t^2})\end{align}$$

Y lo que sucede con esto es que la representación no se parece en nada a la cicloide porque hemos tomado un parámetro que no es lineal, al principio va despacio y al final se acelera, tanto que la cicloide tiene forma de n y esta de U. Aunque el conjunto de puntos esta en correspondencia biyectiva.

De todas formas un fracaso, ese parámetro no sirve, vamos a hacerlo con el ángulo al punto de apoyo medido en radianes.

t € [0, 2Pi]

T será el ángulo que forma el radio que va hacia abajo con los radios a los puntos donde se apoyará la circunferencia, atención con eso.

apoyo(t) = r·t

La ecuación de la tangente será la de una recta perpendicular al vector

(sent, -cost)

luego su vector es de la forma (cost, sent) y pasa por el punto (r·sent, r-r·cost)

y = r - r·cost + (sent/cost)(x-r·sent)

y - x·tgt + r·cost - r·tgt·sent = 0

y la distancia del punto (0,0) a esta recta es

y(t) = r·|cost -sen^2(t)/cost| / sqrt[1+tg^2(t)]

1+tg^2(t) = 1/cos^2(t) puede comprobarse. Haciendo un poco de simplificación

y(t) = r[cos^2(t) -sen^2(t)] = r·cos(2t)

x(t) = sqrt[r^2·sen^2(t) + (r-r·cost)^2 - r^2·cos^2(2t)] + rt=

r·sqrt[sen^2(t)+1+cos^2(t)-2cos(t) - cos2^(t) - sen^2(t) +2sentcost]+rt =

r[sqrt(1+2cost+2sent·cost)+t]

Hasta aquí era donde había llegado, pero hay algo que he hecho mal porque la gráfica da algo absurdo del todo.

Ya intentaré ver donde está el fallo.

Bueno, por cierto este link te puede ayudar

http://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide

Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:

x=a(t-sint);

y=a(1-cost);

donde se deduce rápidamente cual es el parámetro, y lo que te pido es que halles una ecuación general que describe ese punto de la curva cualquiera(donde su punto inicial de apoyo es el origen);luego de hallar esa ecuación con el parámetro que tu elijas lo compares con expresión que puso arriba mediante gráficas.

Saludos.

Veamos, lo que yo he hecho para algo tiene que servir. El problema es que el parámetro t no tiene velocidad constante, pues creamos un parámetro u que si la tenga, del u pasamos al t y con el t usamos las fórmulas que ya habíamos calculado. El parámetro u será por supuesto el ángulo que forma el radio inicial de (R, 0) a (0,0) con el radio donde se apoye la circunferencia, empieza siendo 0 y crece hasta dos Pi.

De acuerdo con esa definición a un ángulo u corresponde el punto de la circunferencia

(r·Senu, r - r·cosu)

La relación con el t que habíamos usado es

t = r·senu

El punto de apoyo que era r·arcsen(t/r) se convierte en

apoyo(u) =r·arcsen(r·senu/r) = r·arcsen(senu) = r·u

y(u) lo obtendremos de que y(t) = r - sqrt(r^2 - t^2)

y(u) = r - sqrt[r^2 - r^2·sen^2(u)] = r - r·sqrt[1-sen^2(u)] = r-r·cosu = r (1-cosu)

Y x(u) se obtiene de que x(t) = t + r·arcsen(t/r)

x(u) = r·senu + r arcsen(r·senu / r) = r·senu + r·arcsen(senu) = r·senu + r·u = r(1+senu)

Resumiendo la ecuación paramétrica en función del ángulo u que hemos definido es

x(u) = r(1+senu)

y(u) = r(1-cosu)

Que es la ecuación de la cicloide.

Y ahora está bien, tal como lo hice al principio era una distorsión de la curva, no me di cuenta, perdona.

Y eso es todo.

Perdón, tuve un fallo en el cálculo de x(u)

x(u) = r·senu + r arcsen(r·senu / r) = r·senu + r·arcsen(senu) = r·senu + r·u = r(u+senu)

Resumiendo la ecuación paramétrica en función del ángulo u que hemos definido es
x(u) = r(u+senu)
y(u) = r(1-cosu)

Ahora si está bien.

Unas ultimas aclaraciones la primera expresión que tu hallaste para el valor de x(t)

http://www.todoexpertos.com/mitodoexpertos/question/we46o1uxdepjy/preg

solo sirve cuando x(t)>apoyo(t)?

En el caso de que f sea una función siempre se cumple eso¿?.

Ahora por ejemplo cuando la curva es una circunferencia entonces ya no se podría afirmar que x(t)>apoyo(t) para cualquier punto de la circunferencia,entonces no podrías despejar el x(t).

En este problema tu estás usando la formula que obtuviste, tomando la mitad del tramo de la circunferencia pero va a haber puntos en los cuales x(t)<apoyo,

Mencionas

El parámetro u será por supuesto el ángulo que forma el radio inicial de (R, 0) a (0,0) con el radio donde se apoye la circunferencia, empieza siendo 0 y crece hasta dos Pi.

y(u) = r - sqrt[r^2 - r^2·sen^2(u)] = r - r·sqrt[1-sen^2(u)] = r-r·cosu = r (1-cosu)

Aquí no sería r-r·|cosu|

Saludos.