Cómo resolver la integral de 0 a infinito de sint/tdt y comprobar que da a pi/2?
Añadir teoremas utilizados!
1 Respuesta
Hay varias demostraciones. Para comprobar simplemente que es convergente no se necesitan estudios especiales. También hay un método basado en integrales dobles que es el mas sencillo de los que proporciona este resultado. Aunque a una persona no se le ocurriría hacer esa demostración es sencilla de comprender una vez que la tienes delante. Consiste en que en una integral doble se puede cambiar en orden de las variables y el resultado es el mismo, entonces se toma la integral de esta función
$$\begin{align}&\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-st}sent\,dt\,ds=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-st}sent\,ds\,dt\\ &\\ &\text{Calculamos aparte esta integral} \\ &\\ &I=\int e^{-st}sent\,dt=\\ &\\ &u=e^{-st}\quad \quad\quad du=-se^{-st}dt\\ &dv= sentdt\quad \;v=-cost\\ &\\ &=-e^{-st}cost-s\int e^{-st}costdt=\\ &\\ &u=e^{-st}\quad\quad\quad du = -se^{-st}dt\\ &dv=cost dt \quad \;\;v =sent\\ &\\ &=-e^{-st}cost-se^{-st}sent-s^2\int e^{-st}sentdt\\ &\\ &I =-e^{-st}(cost+s·sent)-s^2I\\ &\\ &I+s^2I =-e^{-st}(cost+s·sent)\\ &\\ &I = \frac{-e^{-st}(cost+s·sent)}{1+s^2}\\ &\\ &I_0^{\infty}= \frac{0}{1+s^2}+\frac{e^0(1+0}{1+s^2}=\frac{1}{1+s^2}\\ &\\ &\text{y seguimos calculando la integral izquierda}\\ &\\ &\int_0^{\infty}\frac{ds}{1+s^2}=arctg(s)|_0^{\infty}= \frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}\\ &\\ &\text{Y ahora calculamos la integral derecha}\\ &\\ &\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-st}sent\,ds\,dt=\\ &\\ &\int_0^{\infty}\left[-\frac 1t e^{-st}sent \right]_0^{\infty}dt=\\ &\\ &\int_0^{\infty}(0+\frac 1t e^0sent)dt =\\ &\\ &\int_0^{\infty}\frac {sent}{t}dt\\ &\\ &\\ &\text{Luego igualando los dos mienbros}\\ &\\ &\\ &\int_0^{\infty}\frac {sent}{t}dt=\frac{\pi}{2}\\ &\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvide puntuar para poder hacer más preguntas.
Muchas gracias por tomarte el tiempo... El dilema está en que la tarea consiste en
utilizar, de forma obligatoria, los teoremas "valor inicial" y "valor final"... Está excelente la demostración pero si no es mucha molestia. Prometo buen puntaje de antemano gracias!
a)Laplace[f(t)/t]= integral de s a infinito de F(U)dU
b) si F(S)= laplace[f(t)] y lim (t-0+) f(t)=f(0)
entonces lim (t-0) f(t)= lim (s-infinito)SF(S)=F(0)
c) si F(S)= laplace[f(t)] y lim (t-infinito) f(t) existe
entonces lim (t-infinito)= lim (s-0) SF(S)
Disculpa la simbología... Te lo agradeceré mucho...
Como no sabía los estudios que llevabas, opté por esa demostración que es más asequible, por ejemplo yo aprendí integrales dobles en segundo mientras que la transfromada de Laplace en tercero. Y la transformada se olvida si no se usa habitualmente.
Lo que dices de usar son estos teoremas
$$\begin{align}&a)\quad\mathscr L \left\{\frac{f(t)}{t} \right\}=\int_s^{\infty}F(u)du\\ &\\ &\\ &\text{Si f es continua a trozos de orden}\\ &\text{exponencial y derivable a trozos, y f´ es}\\ &\text{continua a trozos de orden exponencial,}\\ &\text {se cumplen estos dos teoremas:}\\ &\\ &\text{b) Teorema del valor inicial}\\ &f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)\\ &\\ &\text{c) Teorema del valor final}\\ &f(\infty) =\lim_{s \to 0}sF(s)\end{align}$$Desarrollaremos lo que has llamado a)
$$\begin{align}&\mathscr L \left\{\frac{f(t)}{t} \right\}=\int_s^{\infty}F(u)du\\ &\\ &\text{por definición de la transformada}\\ &\\ &\int_0^{\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}dt =\int_s^{\infty}F(u)du\\ &\\ &\text {haciendo s=0}\\ &\\ &\int_0^{\infty}\frac{f(t)}{t}dt =\int_0^{\infty}F(u)du\\ &\\ &\text{aplicándolo a f(t)=sent y su transformada en u}\\ &\\ &\int_0^{\infty}\frac{sent}{t}dt =\int_0^{\infty}\frac{1}{1+u^2}du=\\ &\\ &\\ &arctg(u)|_0^{\infty}=\frac{\pi}{2}-0 = \frac{\pi}{2}\end{align}$$Y eso es todo, con la teoría de la transformada de Laplace es más sencillo, pero no sabía se se podía utilizar.
