¿Alguien puede ayudarme a entender mediante ejemplos los teoremas de Cauchy?

El problema es sólo saber a qué teoremas de cauchy te refieres, pues Cauchy fue muy prolífico y su nombre está presente en gran cantidad de teoremas del análisis: Cauchy-Peanno, Cauchy-Riemann, Cauchy-Scwartz...
Si enuncias los teoremas que quieres comprobar, tal vez pueda ayudarte.

Disculpa por no haber escrito antes no había podido
Son los dos teoremas de la integral de cauchy para curvas cerradas lo que más importa son los ejemplos si se pueden dos de cada uno mejor para entenderle bien.
Muchas gracias
Felices fiestas !

Teorema de Cauchy-Goursat
"Si f(z) es analítica en un dominio DE simplemente conexo, entonces para todo contorno cerrado C contenido en D
Int[f(z)*dz]=0
Veamos un par de ejemplos que demuestran esto
1º Int[z*dz] con C=OABO cerrado
siendo
O(0,0)
A(1,0)
B(1,1) en el plano complejo
La integral cerrada OABO puede expresarse como la suma de tres integrales
OA (0,0)-->(1,0)
AB (1,0)-->(1,1)
BO (1,1)-->(0,0)
en cada caso
z=x+i*y
dz=dx+i*dy
a) Integral: OA
En este caso y permanece constante a y=0
x:0-->
y=0-->dy=0
z=x+i*y=x
dz=dx+i*dy=dx
Int[z*dz]=Int[x*dx]=(1/2)*x^2
Como los límites de integración son x=0-->1
Int1 = (1/2)*(1^2-o^2)=1/2
b) Integral AB
Ahora es x la que permanece constante con valor x=1
x=1-->dx=0
y:0-->1
z=x+i*y=1+i*y
dz=dx+i*dy=i*dy
Int[z*dz]=Int[(1+i*y)*i*dy]=
Int[i*dy+i*y*i*dy]=
Int[i*dy]+Int[i*i*y*dy]=
i*Int[dy]-Int[y*dy]=
i*y-(1/2)*y^2
Sustituyendo los límites y=0-->1
i*(1-0)-(1/2)*(1^2-0^2)
i-1/2
O sea
Int2=-1/2+i
c) Integral BO
Ahora se sigue la recta y=x, con lo que lo llevamos a la variable x
y=x-->dy=dx
z=x+i*y=x+i*x=(1+i)*x
dz=dx+i*dy=dx+i*dx=(1+i)*dx
Int[z*dz]=
Int[(1+i)*x*(1+i)*dx]=
(1+i)^2*Int[x*dx]
(1+2*i+i^2*(1/2)*x^2
(1+2*i-1)*(1/2)*x^2
2*i*(1/2)*x^2
i*x^2
Los límites de x son x=1-->0
Int3=i*(0^2-1^2)=-i
Así pues la integral cerrada será
Int[z*dz]=Int1+Int2+Int3=
1/2-1/2+i-i=0
tal como dice el teorema, pues f(z)=z^2 es analítica en el triángulo
2º Int[z^2*dz] en C-->circunferecia centrada en el origen y radio 1
En este caso nos interesa hacer la integral en polares
z=e^(i*alfa) -->circunferencia en polares
con alfa=0-->2*Pi
diferenciando
dz=i*e^(i*alfa)*dalfa
Luego
Int[z^2*dz]=
Int[(e^(i*alfa))^2*i*e^(i*alfa)*dalfa]=
i*Int[e^(2*i*alfa)*e^(i*alfa)*dalfa]
i*Int[e^(3*i*alfa)*dalfa]=
Haciendo el cambio
t=e^(3*i*alfa)
dt=3*i*e^(3*i*alfa)*dalfa
dalfa=dt/(3*i*e^(3*i*alfa)
Luego
Int[z^2*dz]=
i*Int[e^(3*i*alfa)*dt/(3*i*e^(3*i*alfa)]
i/(3*i)*Int[dt]
(1/3)*t
(1/3)*e^(3*i*alfa)
Como alfa=0-->2*Pi
Int[z^2*dz]=
(1/3)*[e^(i*6*Pi)-e^0]=
(1/3)*[e^(i*6*Pi)-1]
Pero
e^(i*6*Pi)=cos(6*Pi)-i*sen(6*Pi)=1-i*0=1
Luego
Int[z^2*dz]=0
Tal como dice el teorema, pues f(z)=z^2 es analítica en el círculo
Hay que tener en cuenta que para que la integral sea nula, la función tiene que ser analítica, pues si no es así la integral no es nula, como comprobaremos ahora con una integral que usaremos más tarde:
Int[dz/z] en la circunferencia anterior
f(z)=1/z, pero no es analítica en C, pues no existe para z=0
Por ello a esta integral no se le puede aplicar el terorema de Cauchy-Gousart, y no tiene por qué ser nula
De igual forma que antes, pasando a polares
z=e^(i*alfa) -->circunferencia en polares
con alfa=0-->2*Pi
dz=i*e^(i*alfa)*dalfa
luego
Int[dz/z]=
Int[i*e^(i*alfa)*dalfa/e^(i*alfa)]=
i*Int[dalfa]=
i*alfa=
i*(2*Pi-0)
luego en ese contorno cerrado
Int[dz/z]=2*Pi*i
Que no es nula, pues al no ser f(z) analítica no le podemos aplicar el teorema
... continua..

Fórmula Integral de Cauchy
"Sea f(z) analítica en un contorno cerrado C y su interior DE, entonces, para todo zo perteneciente a DE, se cumple que
f(zo)=(1/2*Pi*i)*Int[(f(z)/(z-zo))*dz]
O lo que es lo mismo
Int[f(z)/(z-zo)*dz]=2*Pi*i*f(zo)
Comprobemos con un par de ejemplos
1º Int[dz/z] en la circunferencia centrada en el origen y de radio 1
Hemos comprobado antes que esta integral ( a la que no se puede aplicar el teorema anterior, al no ser analítica en z=0 era:
Int=2*P*i
Pero comparando la integral con la fórmula de Cauchy
Int[f(z)/(z-zo)*dz]
Int[dz/z]
haciendo
f(z)=1-->analítica
zo=0
Luego
Int[f(z)/(z-zo)*dz]=2*Pi*i*f(zo)=
2*Pi*i*f(0)=2*Pi*i
de la misma forma que anteriormente
2º Int[dz/[(z+4)*z]] en la circunferencia anterior
No podemos aplicar el teorema de Cauchy-Goursat, pues f(z)=1/[z*(z+4)] no es analítica en z=0 que está en el dominio
Tampoco lo es en z=-4, pero eso no importa, pues ese punto está fuera del círculo
Descomponiendo el integrando en racionales sencillas
1/[z*(z+4)]=A/z + B/(z+4)
1/[z*(z+4)]=[A*(z+4)+B*z]/[z*(z+4)]
1=A*(z+4)+B*z
haciendo
z=0
1=A*4-->A=1/4
si
z=-4
1=-4*B-->B=-4
Así pues la integral se puede descomponer en dos más sencillas
Int[dz/[(z+4)*z]]
(1/4)*Int[dz/z] - (1/4)*Int[dz/(z-4)]
La segunda integral es nula, pues se le puede aplicar el teorema de Cauchy-Goursat, pues aunque no es analítica en z=-4, tal punto está fuera del dominio de integración
Y la otra ya la hemos calculado, con lo que
Int[dz/[(z+4)*z]=
(1/4)*Int[dz/z]=
(1/4)*2*Pi*i=
(Pi*i)/2
Veamos ahora cómo resolverla con la fórmula integral de Cauchy
Comparando:
Int[f(z)/(z-zo)*dz]
Int[dz/[(z+4)*z]
podemos hacer
f(z)=1/(z+4)-->analítica en el círculo
zo=0
Así
f(zo)=f(0)=1/4
Y aplicando la fórmula:
Int[f(z)/(z-zo)*dz]=2*Pi*i*f(zo)=
2*Pi*i*(1/4)=
(Pi*i)/2
Que es el resultado antes obtenido
Espero haber podido aclarar tus dudas. Como ves, el teorema y la fórmula se cumplen.
Te dejo esta página donde vienen apuntes y problemas.
Es el tema 4
http://www.tecnun.es/Asignaturas/funmat_3/pagina_3.html
Y por supuesto:
Felices fiestas!