Aplicaciones de los teoremas de Green y Stokes.

El enunciado no ha salido bien pero supongo que quieres expresar la integral doble en el circulo unitario del producto escalar del rotacional de F por el vector unitario k. El teorema de Stokes dice:

Sea S una superficie orientada, simple y regular a trozos. Sea C su curva frontera, regular a trozos, cerrada y simple, con orientación positiva. Si F es un campo vectorial, de clase C1 en alguna región que contiene a S, entonces

$$\int_C F=\iint_S rot\,F$$

Y el problema es que no hay dos libros que usen la misma notación sobre esto. Lo que tú pones es equivalente a esa integral doble que la han puesto simplificada casi al máximo prescindiendo del vector normal a la superficie k y del diferencial dA.

Entonces esa integral es la misma que la integral de línea del campo F a lo largo de la circunferencia unidad.

La circunferencia unidad la podemos parametrizar mediante

x(t) = cost

y(t) = sent

las derivadas son

x'(t) = - sent

y'(t) = cost

para t € [0,2pi]

Con esto la integral de línea es

$$\begin{align}&\int_C X^2dx+Y^3dy =\\ &\\ &\\ &\int_0^{2\pi}[\cos^2t·(-sent)+sen^3t·cost]dt=\\ &\\ &\\ &\int_0^{2\pi}(-\cos^2t·sent+sen^3t·cost)dt=\\ &\\ &\\ &\int_0^{2\pi}(-\cos^2t+sen^2t·cost)sent\,dt=\\ &\\ &\\ &\int_0^{2\pi}[-\cos^2t+(1-\cos^2t)cost]sent \,dt=\\ &\\ &\\ &\int_0^{2\pi}(-\cos^2t+cost-\cos^3t)sent\,dt=\\ &\\ &\\ &z=cost\quad dz=-sent\,dt\\ &\\ &\\ &\int_{?}^{?}-(-z^2+z-z^3)dz =\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^2}{2}+\frac{z^4}{4}\right]_?^?=\\ &\\ &\left[\frac{\cos^3t}{3}-\frac{\cos^2t}{2}+\frac{\cos^4t}{4}\right]_0^{2\pi}=\\ &\\ &\frac 13-\frac 12+\frac 14-\frac 13+\frac 12-\frac 14 = 0\end{align}$$

Y la integral que nos piden vale lo mismo que esta, luego es 0. Eso significa que el campo es conservativo, la integral a lo largo de una línea cerrada es 0

Y eso es todo.