Hallar las tangentes a la elipse
Hallar las tangentes a la elipse
$$4x^2+9y^2=36$$
desde el punto P(5,0)
1 Respuesta
Es una elipse centrada en el punto (0,0)
Su ecuación canónica es
(4/36)x^2 + (9/36)y^2 = 1
(x^2)/9 + (y^2)/4 = 1
Los semiejes son la raíz cuadrada de los denominadores, 3 en el eje X y 2 en el eje Y.
Luego el punto(5,0) es exterior a la elipse y se pueden trazar tangentes. Además por la posición del punto no puede ser vertical la tangente, luego las tangentes admiten una ecuación de la forma
y-0 = k(x-5)
y = k(x-5)
Sustituimos este valor en la ecuación de la elipse
4x^2 + 9[k(x-5)]^2 = 36
4x^2 + 9k^2·x^2 - 90k^2·x + 225k^2 = 36
(4+9k^2)x^2 - 90k^2·x + (225k^2 - 36) = 0
La solución de esta ecuación de segundo grado son las intersecciones de la tangente con la elipse. Para que sean tangentes debe haber una sola solución. Una ecuación de segundo grado tiene una sola solución cuando el discriminante b^2 - 4ac = 0
8100k^4 - 4(4 + 9k^2)(225k^2 - 36) =
8100k^4 - 3600k^2 + 576 - 8100k^4 + 1296k^2 = 0
-2304k^2 + 576 = 0
2304k^2 = 576
k^2 = 576 / 2304 = 1/4
k = +- (1/2)
Luego las tangentes son
y = (1/2)(x-5) = x/2 - 5/2
y = -(1/2)(x-5) = -x/2 + 5/2
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Estos problemas no son tan fáciles y si están bien hechos se puntúan con 5, o no haré ninguno más.
