Encuentra ecuación elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, pasa punto P y R
Encuentra la ecuación de la
elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, que pasa por los puntos P Y R que son los extremos
del lado recto de la parábola , el punto S que es el centro de la
circunferencia x²+y²-14x+8y+49=0, y
el punto Q que es la intersección de las rectas 2x+y+6=0 y 3x-y-1=0.
1 Respuesta
Sí, de acuerdo, no sé porqué motivo no se registró, la pregunta completa es:
Encuentra la ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados, que pasa por los puntos P Y R que son los extremos del lado recto de la parábola y²-4x+8y+24=0 , el punto S que es el centro de la circunferencia x²+y²-14x+8y+49=0, y
el punto Q que es la intersección de las rectas 2x+y+6=0 y 3x-y-1=0. Gracias!
Deja que empiece por lo fácil, por calcular el punto Q. Sumaré las dos ecuaciones
2x+y+6=0
3x-y-1=0
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5x +5 = 0
x=-1
3-y+1=0
y=-4
Q=(-1, -4)
Ahora el centro de la circunferencia lo hallamos completando cuadrados.
x^2 + y^2 -14x + 8y +49 = 0
(x-7)^2 - 49 +(y+4)^2 -16 + 49 = 0
S=(7, -4)
La parábola es
y²-4x+8y+24=0
en forma canónica
(y+4)^2 -16 -4x + 24 = 0
(y+4)^2 =4x -8
(y+4)^2 =4(x-2)
Es una parábola cuyo eje longitudinal es paralelo al eje X.
Su vértice es (2,4)
Como la ecuación canónica es
(y-d)^2 = 2p(x-c)
donde p es la distancia de la directriz al foco
tenemos p = 2
Y la distancia del vértice al foco es la mitad luego es 1
Entonces el lado recto es le segmento perpendicular al eje X que pasa pr el foco
Si el vértice es (2, 4) el eje longitudinal es paralelo al eje X, la parábola crece hacia la derecha y la distancia vértice al foco es 1 tenemos
v=(2, -4)+(1, 0) = (3,4)
La recta que contiene el lado recto es x=3
Y los puntos de intersección con la parábola son
(y+4)^2 =4(x-2)
(y+4)^2 =4(3-2)=4
(y+4) =+- 2
y = -2 , -6
Luego los extremos del lado recto son
P=(3, -2)
R=(3, -6)
Y los de antes eran
Q=(-1, -4)
S=(7,-4)
En realidad una cónica queda determinada por 5 puntos, luego falta uno, hay infinitas elipses que pasan por esos 4 puntos. Pero al ser de ejes paralelos a los ejes coordenados no se necesitan 5 sino 4 puntos.
El lado recto corta en (3,-2) y (3, -6), entonces el eje paralelo al eje X pasa por el punto intermedio que es (3,-4)
El eje paralelo al X es por tanto
y=-4
Y en ese eje tenemos dos puntos que son
(-1, -4) y (7,-4)
luego el centro de la elipse es el punto intermedio
[(-1, -4) + (7, -4)] / 2 = (6, -8) / 2 = (3, -4)
El semieje en X mide la distancia del vértice al centro (7,-4)-(3,-4) = (4,0) cuyo módulo es 4
Vemos que el centro está alineado con los puntos del lado recto luego el semieje paralelo al eje Y mide la distancia del centro a uno de esos puntos (3.-2)-(3,-4) =(0,2)cuyo módulo es 2.
Ya tenemos el centro y lo s semiejes, con ello la ecuación canónica de la elipse es
$$\frac{(x-3)^2}{4^2}+\frac{(y+4)^2}{2^2}=1$$Y eso es todo. ¿Estos problemas son de colegio o son de universidad? Porque se las traen.
Gracias en verdad por su esfuerzo, representa mucho para mí, lo aprecio mucho y espero seguir contando con su apoyo desinteresado. Saludos!
