Ayuda con este problema de algebra
Valeroasm m puedes colaborar con este ejercicio. Gracias.
De la siguiente elipse 9x^2+ 25y^2= 225. Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
1 Respuesta
Para contestar estas preguntas sería bueno saber la teoría concreta que os han enseñado y como habéis resuelto algún problema similar. Lo haré como creo que pueda ser.
Las elipses cuya ecuación tiene nulo el término en xy tienen ejes paralelos al eje X y el eje Y. En esta sucede esto. No sé si por el nivel de estudios habrás dado que la ecuación general de una elipse sería
ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0
Normalmente en el colegio no se estudian las que tienen el término cxy porque los ejes son oblicuos.
Una elipse puede reducirse a una forma canónica como esta cuando el eje longitudinal es paralelo al eje X
$$\begin{align}&\frac{(x-d)^2}{a^2}+\frac{(y-e)^2}{b^2}=1\\ &\\ &donde\; a\ge b, \; \\ &\text {y (d,e) es el centro}\end{align}$$Y cuando el eje longitudinal es paralelo al eje Y la ecuación canónica es:
$$\begin{align}&\frac{(x-d)^2}{b^2}+\frac{(y-e)^2}{a^2}=1\\ &\\ &donde\; a\ge b, \; \\ &\text {y (d,e) es el centro}\end{align}$$Vamos a transformar la ecuación que nos dan en canónica.
$$\begin{align}&9x^2+25y^2=225\\ &\\ &\frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\\ &\\ &\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}= 1\\ &\\ &\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\end{align}$$Los valores de d y e que habíamos puesto en la ecuación canónica no aparecen aquí, no lo hacen porque son 0
d=0, e=0 y el centro es (0,0)
Y eso significa que el eje mayor y menor de la elipse son el X y el Y. El eje longitudinal es el mayor que es el que tiene mayor el denominador, luego el eje longitudinal es X
La raíz cuadrada de los denominadores, es decir los números a y b se llaman semiejes mayor y menor. Los vértices son los dos puntos sobre el eje longitudinal que están a distancia a del centro.
En esta elipse es x la que tiene denominador 5^2 luego el eje longitudinal es el X y los vértices están situados en ese eje longitudinal a distancia 5 del centro, luego los vértices son:
(-5,0) y (5,0)
Y los focos son puntos sobre el eje longitudinal que están a la semidistancia focal del centro.
La semidistancia focal se llama c y se calcula de esta relación
a^2 = b^2 + c^2
5^2 = 3^2 + c^2
c^2 = 25 - 9
c^2 = 16
c = 4
Luego los focos son (-4,0) y (4,0)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si vosotros hacéis el cálculo de otra forma ya me lo dirás.
