Sucesiones: Progresión Geométrica
Los puntos medios de un cuadrado, de lado 1, se unen para formar un
Nuevo cuadrado. Este procedimiento se repite para cada nuevo cuadrado.
a) Calcule la suma de las áreas de todos los cuadrados,
b) Calcule la suma de los
Perímetros de todos los cuadrados.
1 respuesta
a) Si haces el dibujo verás que el área del cuadrado inscrito de esa forma es la mitad del cuadrado precedente ya que se puede dividir en 8 triángulos iguales de los cuales el nuevo toma 4.
Luego se forma una progresión geométrica con las áreas cuya razón es 1/2 = 0.5
Y la suma infinita de términos de una progresión geométrica es
S = a1/(1-r)
En este caso a1 es el área del primero 1·1=1
S = 1/(1-0.5) = 1 / 0.5 = 2
b) El lado del primer cuadrado inscrito lo calculamos mediante el teorema de Pitágoras
l = sqrt(0.5^2 + 0.5^2) = sqrt(0.5)
Luego los perímetros formas esta progresión
4, 4 sqrt(0.5), 4sqrt(0.5)sqrt(0.5),...
O más sencillamente, sacamos factor común 4 y nos quedamos con la progresión
1, sqrt(0.5), 0.5, 0.5sqrt(0.5), ...
La razón es sqrt(0.5)
La suma de los términos infinitos es
S=1/[1-sqrt(0.5)]
Multiplicamos por el 4 que teníamos de factor común de la progresión
Suma perímetros = 4/[1-sqrt(0.5)] = 13.65685425
Y eso es todo.
