Formula crecimiento prima 10% lineal
Buenas tardes.
Si el año n pago X, el año n+1 (X+10%), el año n+2 {X+(10%de X)}.... O sea un 10% lineal cada año tomando como base X.
Año 1 = 30
Año 2 = 30+3 = 33
Año 3 = 33+3 = 36
Año 4 = 36+3 = 39..... Etc
¿Cual es la formula para saber lo que llevo pagado acumulado en cada año?
Muchas gracias.
1 respuesta
Cada año pagas una cantidad fija más que el año anterior. Eso es una sucesión aritmética. El truco para hacer la suma consiste en sumar los extremos, luego el segundo con el penúltimo,
Tercero con el antepenúltimo, etc.
Fijate en la sucesión que planteas
30, 33, 36, 39, 42, 45
Primero + último = 30+45 = 75
Segundo + penúltimo = 33+42 = 75
Tercero + antepenúltimo = 36+39 = 75
Y si te fijas la suma es siempre la misma
No se ha dado aquí el caso, pero si hubiera habido un número impar de términos, la suma consigo mismo del elemento central también daría la misma cantidad.
Luego llamando a1 al primer elemento y an al ultimo, la fórmula de la suma de los n términos es la siguiente:
Sn = (a1+an)n/2
En el ejemplo dado:
S6 = (30+45)6/2 = 75·3 = 225
Ahora vamos a ver en el problema que planteas cual es el primer y ultimo elemento.
El 10% de X es X/10
a1 = X
a2 = X + X/10
a3 = X + 2X/10
....
an = X + (n-1)X/10
Y aplicando ma fórmula
Sn = [X+X+(n-1)X/10]n / 2 =
X [2+(n-1)/10]n / 2 =
{nX[20+(n-1)]/10}/2 =
nX[20+n-1]/20
Sn = nX[20+n-1] / 20
Yo creo que esa es la fórmula más simplificada.
Vamos a comprobarla con el caso que teníamos de los 6 términos del 30 al 45
S6 = 6·30[20+6-1] / 20 = 180(25)/20 = 9·25 = 225 Está bien.
Y eso es todo.
Ok, asi explicado parece fácil.
Peeeeeeeeero, los periodos son mensuales, por lo que tendría que multiplicarlo por 12 para anualizarlo; y lo llevo a caso real.
a1= 27,86
a13= 60,09
Sn = (a1+an)n/2 -> S13 = (27,86+60,09)13/2 = 571,675 x 12 = 6.860,10
Y
Sn = nX[20+n-1] / 20 -> S13 = 13 x 27,86 [20+13-1]/20= 579,488 x 12 = 6.953,856
¿Pueda que haya algún redondeo por el camino que conlleve dicha diferencia?
Es una diferencia muy significativa para unas cuentas tan sencillas. El error debe venir de que los datos del problema real no cumplen las condiciones que decías en el enunciado inicial.
Tu decías que el año 1 pagabas X y cada año un 10% de X más
año 1 = 27,86
año 2 = 27,86 + 2,786 = 30,646
año 3 = 30,646 + 2,786 = 33,432
....
año13 = 27,86 + 12(2,786) = 28,86 + 33,432 = 62,292
Y esta cantidad es bastante distinta del 60,09 que me dices tú.
La fórmula que te daba yo te permite calcular la suma siempre que de cumpla la condición de que el incremento anual sea exactamente el 10% de la cantidad inicial, si no es así hay que calcularlo con la fórmula normal de la suma de sucesiones.
Entonces mira a ver porque te daba
a13 = 60,09 en vez de 62,292
Ahi es donde está la discrepancia.
