Dada la función f(z)=z^2-4z definida en [1,5] hallar c (a,b) que satisface

Esta pregunta está basada en el teorema del valor medio de Lagrange. Antes de resolverla vamos a ver que se cumplen las condiciones del teorema y que por lo tanto se cumple el teorema.

Sea f(x) continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe al menos un punto c € (a,b) tal que

[f(b)-f(a)] / (b-a) = f '(c)

La función que nos dan f(z) es un polinomio, luego es continua y derivable en todo R y por lo tanto es continua en [1,5] y derivable en (1,5) luego cumpla las condiciones y existe al menos un punto c € (1,5) tal que [f(5)-f(1)] / (5-1) = f '(c)

o lo que es lo mismo

f(5) - f(1) = f '(c) (5-1)

que es lo que nos dicen.

Todo lo dicho hasta es teoría que nos dice que existe ese punto c y está en (1,5). Ahora es cuando resolvemos el ejercicio que es lo mas sencillo

f(5) = 5^2 - 4·5 = 25-20 = 5

f(1) = 1^2 - 4·1 = 1 - 4 = -3

5 - (-3) = f '(c) (5-1)

8 = f '(c) · 4

f '(c) = 2

para resolver esta ecuación calculamos la derivada

f'(c) = 2c - 4 = 2

2c = 2+4

c = 6/2 = 3

Luego c=3

Que como podemos ver está en el intervalo (1, 5) tal como decía el teorema.

Y eso es todo.