Como puedo calcular el volumen de un cilindro con casquete Esférico mediante integrales.

Tendrías que explicar mejor el problema. Si dices el volumen en función de la altura dependerá de si el líquido llega a la parte del casquete o no. Si es inferior será el volumen del cilindro, si esta por encima será el volumen del cilindro más la que corresponda a la zona esférica que contenga líquido. ¿Y cómo es el casquete? ¿Es una semiesfera o no lo es? Otra cosa sería el volumen total que sería una integral triple en que se cambiaría a coordenadas cilíndricas para hacerla bien. Aunque tanto esta como la de cualquier altura se puede hacer con cartesianas considerando diferenciales de volumen que serían rodajas cortadas en horizontal, habría que saber en cada momento si la rodaja era del cilindro o del casquete y conocer el radio de la rodaja. Esto sería una integral simple.

Un problema como este es mejor que tenga unos números concretos para hacerlo y así se aprende mejor.

Y respecto a la segunda pregunta, no sé que tiene que ver la presión con el volumen. El volumen es el mismo, lo que puede cambiar conla presión es el peso y la densidad. El volumen es una unidad lineal al cubo, la presión es una fuerza entre una unidad lineal al cuadrado, hay un largo camino para obtener el volumen de la presión, no se como sería.

Pues eso, sería conveniente explicar bien el problema y a ser posible con datos, ecuaciones, etc.