Sea, demuestre que si |x+y|>|x|+|y|entonces y no es un número real.

Es conocida la desigualdad triangular de los números reales que dice:
Si x, y € R entonces se cumple |x+y| <= |x| + |y|
La demostración es sencilla. Por propiedades del valor absoluto tenemos
-|x| <= x <= |x|
-|y| <= y <= |y|
sumando ambas tenemos
-|x| - |y| <= x+y <= |x| + |y|
-(|x| + |y|) <= x+y <= |x| + |y|
y por propiedades de los valores absolutos eso significa
|x+y| <= |x| + |y|
Los
Dos números que nos dan no verifican la desigualdad triangular luego no pueden ser los dos reales a la vez. Supuesto que x es real, entonces "y"
No es real.

Y eso es todo.

Hola buen día, tengo una duda por que si me piden |x+y| > |x|+|y| ¿por que en el desarrollo el signo de desigualdad cambia a <=?

Según yo tengo entendido el signo se conserva, por favor me puede explicar profe.

Saludos y mil gracias.

Lo que he hecho es demostrar la desigualdad triangular que dice que si x, y son los dos números reales se cumple

|x+y| <= |x| + |y|

Seguramente tendrás esta desigualdad en la teoría de tu libro, pero por si acaso la he demostrado.

Entonces lo que que nos dan son dos números x, y que cumplen

|x+y| > |x| + |y|

Luego estos dos números incumplen la desigualdad triangular, por lo tanto no pueden ser dos números reales. Como nos dicen que x es real entonces es y el que no es real.