Dibujar una gráfica de una función par con dominio R, derivable en R - {0}

Las funciones pares son aquellas que cumplen

f(x) = f(-x)

Puedes encontrar varias, por ejemplo cosx, el coseno hiperbólico que es

chx = [e^x + e^(-x)] / 2

Pero las más sencillas son los polinomios con exponentes pares, y de ahí el nombre que tienen.

Se puede empezar con la más simple

f(x) = k es una función par vale lo mismo para un valor de x y su opuesto

f(x) = kx^2 también es par ya que

f(-x) = k(-x)^2 = kx^2

y la suma de dos de ese tipo lo es

f(x) = kx^2 + c

y podemos añadir un monomio de orden 4

f(x) = hx^4 + kx^2 + c

Ya no vamos a necesitar más, con una función de este tipo nos va a servir. Hagamos que cumpla las condiciones pedidas

f(0) = 2

h·0^4 + k·0^2 + c = 2

c=2

luego la función será

f(x) = hx^4 + kx^2 + c

Lo siguiente que se pide es f'(2) = 0

f'(x) = 4hx^3 + 2kx

4h·2^3 + 2k·2 = 0

32h + 4k = 0

32 h = -4k

8h = -k

luego la función será

f(x) = hx^4 - 8hx^2 + 2

La derivada segunda es

f''(x) = 12hx^2 - 16

Nos piden que sea menor que cero para x positivos.

Si h es positivo no podrá ser ya que en el infinito la función f''(x) tenderá a infinito. Pero si tomamos h negativo la derivada segunda es siempre negativa luego nos sirve. Luego tomaremos h=-1 y la función quedará asi

f(x) = - x^4 + 8x^2 + 2

Y eso es todo.

hola, entendí y me parecio muy buena tu explicación, pero no me quedo claro lo de derivable en R -{0}. Gracias por tu ayuda

Esperá que me equivoqué, aparte de esto que dices que no tuve en cuenta, hay otro fallo.

Había llegado a que

f(x) = hx^4 - 8hx^2 + 2

y decía que

f''(x) = 12hx^2 - 16

pero en realidad es

f''(x) = 12hx^2 - 16h

pero para que f''(x) sea negativa en +oo debe ser h negativa con lo que

f''(x) = -12kx^2 +16k con k positivo

Y entonces f''(x) será positiva en las inmediaciones de cero, luego lo que hemos hecho no sirve.

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Hay que empezar de nuevo pensándolo mejor.

En x=2 la derivada es cero, eso significa que hay máximo relativo, mínimo relativo o punto de inflexión.

Asimismo desde x=0 hasta infinito la derivada segunda es negativa, eso significa que debe ser cóncava hacia abajo (forma de vaso boca abajo).

Eso lo podemos conseguir si tomamos una parábola con coeficiente director negativo por ejemplo

f(x) = -x^2 + bx + c

como f(0)=2 ==> c=2

f(x) = -x^2 + bx +2

f'(x) = -2x + b

debe ser f '(2) = 0 luego

-2·2 + b = 0

b = 4

luego la función sería

f(x) = -x^2 + 4x + 2

que cumple también la condición f''(x) < 0 para x>0 ya que

f''(x) = -2

Ahora bien, lo que le falla es que no es una función par.

Pero podemos hacerla par a la fuerza. Y además el detalle de que nos dejan que en cero no sea derivable viene como anillo al dedo.

Entonces lo que vamos a hacer es definir así la función para x>=0 y para x<0 hacer que valga lo mismo, asi conseguimos que sea par pues será f(-x) = f(x)

f(-x) = -(-x)^2 + 4(-x) + 2 = -x^2 - 4x +2

Entonces la función será una función definida a trozos y será esta

f(x) = { -x^2 - 4x + 2 si x <0

{ -x^2 + 4x + 2 si x >= 0

Esta es la gráfica

En x=0 tiene un pico y no es derivable por eso, pero era algo que nos permitían.

Y eso es todo.