Pregunta 6 de matemática 3
Hola valeroasm!
Sea una función F(x;y)=0 entonces es fácil despejar dy/dx=-Fx/Fy; el problema es sea una función F(x1;x2;x3;x4;x5;....;xn)=0; demuestra que dxi/dxj =-Fxj/Fxi, donde i y j son la i-esima componente y j-esima componente respect.
Yo nunca he visto esa fórmula para la derivada. Lo que nos decían era que deriváramos respecto de x, y como la y era una función de x usáramos la regla de la cadena y multiplicáramos por y', y después de todo eso se podía despejar y' que es dy/dx.
Supongo que la fórmula vendrá de
Fx = 0
Fy = 0
Fx·dx + Fy·dy = 0
Fx·dx = -Fy·dy
dy/dx = -Fx/Fy
La verdad es que a veces me asustan estas operaciones con los diferenciales.
Para varias variables se hace lo mismo se suman todas las diferenciales
Fx1·dx1 + Fx2dx2 +...+ Fxi·dxi +...+ Fxj·dxj + .....Fxn·dxn= 0
Ahora bien cuando calculamos la derivada dxi / dxj todas las demás variables se consideran constantes por lo que dxk = 0 para todo k distinto de i y j, con lo cual queda
Fxi·dxi + Fxj·dxj = 0
y haciendo lo mismo de antes tenemos
dxi/dxj = -Fxj / Fxi
Y eso es todo.
