Operaciones binarias

1.9
Evidentemente, si hay un único elemento no cabe más operación binaria que a·a=a, luego hay una.
Si hay dos elementos tenemos cuatro resultados, que son a·a, a·b, b·a y b·b
El primero puede ser a o b
El segundo también a o b
Lo mismo tercero y cuarto
Luego se pueden dar 2^4 combinaciones con resultados distintos. Ese es el número de operaciones binarias posibles 2^4 = 16
Si hay tres elementos la tabla de resultados es tres por tres luego tiene 9 elementos y cada uno puede tomar tres valores, luego las operaciones binarias distintas son 3^9 = 19683
Si hay n elementos tenemos n^2 resultados y cada uno puede tomar n valores
Luego son n^(n^2) operaciones binarias
--------
1.10
Si el grupo es conmutativo cambia que a·b = b·a eso limita el número de operaciones binarías.
Cuando haya dos elementos tendremos
A·A podrá valer a o b
a·B podrá valer a o b
b·A valdrá lo mismo que a·b
B·b podrá valer a o b
Entonces es número de operaciones binarias distintas será 2^3
Si hay tres elementos. De la tabla de nueve resultados eliminamos b·a, c·a y c·b porque tienen que valer respectivamente lo mismo que a·b, a·c y b·c
Entonces serán 6 resultados que cada unom puede tomar tres valores, eso es 3^6 = 729 operaciones binarias.
Si hay n elementos.
De la tabla n por n de resultados hay que quitar las combinaciones de n tomadas de dos en dos que son las que se repiten con el orden de factores cambiados. Luego hay que considerar estos resultados independientes:
n^2 - C(n,2) = n^2 - n(n-1)/2 = (2n^2 - n^2 + n) / 2 = (n^2 + n) / 2
Y por tanto, el número de operaciones binarias será:
n^[(n^2 + n) / 2]
Como corroboración vemos que esa fórmula se cumple exactamente para los casos 2 y 3 calculados anteriormente.
Y eso es todo.