Desigualdad fraccionaria con cuadrática y FN

Es un problema a lo grande.

Hay tres factores, si consideramos que una división es como una multiplicación por el inverso.

Pero veamos que el factor x^2+1 es siempre positivo, luego no alterará nunca el signo.

Luego el signo vendrá de los otros dos factores. Si son los dos positivos o los dos negativos el resultado será positivo, y si tienen signos cambiados será negativo.

Como nos piden que sea mayor o igual que cero deberán ser positivos o negativos, también nos servirá cuando el numerador sea cero.

Vamos a empezar por el denominador que es más sencillo, hallamos sus raíces

16x^2 - 49 = 0

x^2 = 49/16

x = +- sqrt(49/16) = +-7/4

Cuando x<-7/4 o x>=7/4 la expresión es positiva

Cuando -7/4 < x < 7/4 es negativa

Cuando x=-7/4 o 7/4 no esta definida la desigualdad fraccionaria.

Y ahora vamos con el primer factor del numerador

-4x^3 - 3x^2 + 7x = 0

Primero tenemos una raíz en x=0, dividimos por x para hallar las que no sean cero

-4x^2 - 3x +7 = 0

4x^2 + 3x -7 = 0

x=[-3 +- sqrt(9+112)] / 8 = (-3 +- 11) / 8 = 1 y -14/8

Luego las raíces por orden son -7/4, 0 y 1

Veamos el signo de -4x^3 - 3x^2 + 7x en cada intervalo

En (-infinito, -7/4) es positivo porque el límite en -infinito lo es

En (-7/4, 0) es negativo porque cambia de signo, aunque estarás más seguro si tomas un valor para comprobarlo -4(-1)^3 -3(-1)^2 +7(-1) = 4-3-7 = -6

En (0,1) cambia a positivo, puedes probar con (1/2)

En (1, +infinito) cambia a negativo, puedes probar con 2

¡OJO! No siempre vale que cambie de signo en cada intervalo, a veces la función rebota en el eje X, pero en esos casos la raíz donde rebota es doble y aquí no había dobles.

Ahora hay que tomar los intervalos de los dos:

Las raíces eran

-7/4, 7/4

-7/4, 0, 1

La unión de las raíces puesta en orden es

-7/4, 0, 1, 7/4

En (-infinito, -7/4) ambos factores positivos, resultado positivo

En -7/4 no esta definida la función

En (-7/4, 0) ambos negativos, resultado positivo

En 0 numerador 0 y denominador no cero, vale el resultado

En (0,1) numerador positivo y denominador negativo, resultado negativo

En 1 numerador 0 y denominador no cero, vale el resultado

En (1, 7/4) numerador negativo y denominador negativo, resultado positivo

En 7/4 no esta definida la función

En (7/4, + infinito) numerador negativo, denominador positivo, resultado negativo.

Luego en resumen

Solución = (-infinito, -7/4) U (-7/4, 0] U [1, 7/4)

Y eso es todo.