¿Cómo analizar un sistema de ecuaciones de 3x4?
Se me dio a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y - z - w = -1
2x + y - 3z - w= 1
2x + y - z - 3w = -1
Mi duda es como interpretar el análisis del sistema para saber si es compatible o incompatible. Me piden si o si que lo analice usando Gauss-Jordan, por lo que procedo a elaborar la matriz de coeficientes con la ampliada:
1 1 -1 -1 | -1
2 1 -3 -1 | 1
2 1 -1 -3 | -1
Después de realizar varias operaciones entre filas y columnas llego a la siguiente matriz:
1 1 -1 -1 | -1
0 1 1 -1 | 1
0 0 1 -1 | 1
Por defnición escribo que el sistema es compatible indeterminado por que el rango de la matriz ampliada es igual al de la matriz de coeficientes, pero al tomar una incógnita para darle un valor me queda lo siguiente:
z - w = -1
z = -1 + w
Una vez obtenido el valor de z, procedo a calcular y
y + z - w = 1
y -1+w -w = 1
y= 2
Ahi es donde esta mi problema, ¿por que me da 2? ¿No me debería dar un numero en función de w? ¿Alguien me podría ayudar para saber que estoy haciendo mal en mi análisis?
1 Respuesta
Fijate que según este razonamiento que has hecho no podrían existir las funciones constantes. La función
f(x) = 2
Sería un error porque no es una función de x. Pero es una función con todo el derecho lo mismo que
f(x) = 2 + x
Piénsalo de otra forma. Los sistemas de ecuaciones son intersecciones de rectas, intersecciones de planos o variedades de mayor dimensión inimaginables geométricamente.
Nada impide que dos planos por ejemplo tengan como intersección por ejemplo una recta horizontal a 2 de altura, entonces la coordenada z de todos los puntos de esa recta será una constante igual a 2.
Si tu está seguro de las operaciones hechas hasta el momento no tienes más que seguir con el razonamiento algebraico.
Lo que pasa es que habías tenido un fallo en las operaciones y la matriz auténtica que queda es esta
1 1 -1 -1 | -1
0 1 1 -1 | -3
0 0 1 -1 | -1
Tomas como parámetro uno con nombre t que equivale a w
w=t
Entonces vamos a la última ecuación
z -t = -1
z = t-1
Ahora a la penúltima
y +t-1-t = -3
y=-2
Como ves la y es constante aunque no es la misma constante que tenías.
Y por fin a la primera
x -2 -t+1-t = -1
x = 2t
Luego la solución es
x=2t
y=-2
z=t-1
w=t
Para todo t €R
Muchas gracias, era el ultimo ejercicio que me faltaba hacer y me resultaba raro que me quedara ese resultado, pero me has clarificado mucho más las cosas =).
