Determine para que valores de k pertenece IR, el sistema no tiene solucion real

Te responderé el ejercicio primero y el tercero por fácil. No se pueden recargar las preguntas con muchos ejercicios, debe ser un ejercicio por pregunta. Conozco a uno que aun lleva contestando una pregunta que le hicieron hace un año. Si quieres el segundo mándalo en otra pregunta.

Por cierto dime si ya has dado matrices, determinantes, etc.

bueno entiendo gracias de antemano y enviare el segundo a parte .

Creo que has dicho que sí has dado lo de las matrices y determinantes.

Supopngo que sabrás que los sistemas de ecuaciones se clasifican en tres tipos

1. Compatibles determinados. Tienen respuesta y es única. En ellos el rango de la matriz de coeficientes es máximo y el determinante es distinto de 0

2. Compatibles indeterminados. Tienen infinitas respuestas. El rango no es máximo y el determinante es cero. Además, el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.

3. Incompatibles. No tienen respuesta. El rango no es máximo y el determinanate es cero. Además, el rango de la matriz de coeficientes es menor que el de la ampliada.

Este tercer caso a nivel practico se traduce en que al hacer operaciones por filas para hacer ceros se consigue una fila con todo ceros en la matriz de coeficientes pero no es cero el número de la ampliada.

Tomemos la matriz del sistema

1   -3     |-9

2   -5k   | 7

Multiplicaremos la primera fila por -2 y la sumaremos a la segunda

1     -3    |  -9

0   -5k+6| 25

Y para que sea incompatible debe ser 0 el siguiente elemento

-5k+6 = 0

-5k = -6

k = 6/5

Se consciente de que esta pregunta se conte4sta de distintas formas según el nivel de estudios, por eso si no te suena lo que he dicho es que se tiene que resolver con teoría más básica, ya me dirás si sucede eso.

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3)  Formamos la matriz de la ecuación

1    -1 |  -3

2    -1 |   1

A la segunda le restamos la primera

1   -1  | -3

1    0  |  4

Luego x=4

Y ahora calculamos y

4 - y = - 3

-y = -7

y=7

Luego la solución es

x=4

y=7

Vamos a comprobarla

x-y=-3   ==> 4-7 = -3

2x-y=1  ==> 2·4 - 7 = 8-7 = 1

Luego está bien.

Y eso es todo, si no entendiste algo dímelo, si no entendiste nada dímelo y lo haremos de forma más parecida a como se hace en el colegio.

es sistema de ecuacion lineal  donde se interpreta geometricamente  rectas paralelas y coincidente con metodos de reduccion y sustitucion

$$\begin{align}&\\ &  \end{align}$$

Hola, bueno tus ejercicios presentan diferentes tipos de soluciones para un sistema de ecuaciones.

1) Para la primera debes ver, para que valor de la ecuación no presenta solución en los reales, por lo tanto las rectas que definen el sistemas son paralelas y no tienen nunca puntos en común.

$$\begin{align}&x-3y=9\\ &2x-5ky=12\\ &\\ &Despejamos (x)\\ &\\ &x=9+3y\\ &\\ &Reemplazamos\\ &\\ &2(9+3y)-5ky=12\\ &18+6y-5ky=12\\ &18-12=5ky-6y\\ &6=y(5k-6)\\ &\frac{6}{(5k-6)}=y\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Luego nos queda en el denominador el K, entonces igualamos el denominador a 0, porque en ese caso quedaría todo indeterminado producto de la división por 0.

$$\begin{align}&(6-5k)=0\\ &6=5k\\ &\frac{6}{5}=k\end{align}$$

Por lo tanto para un K igual a 6/5 la ecuación presenta infinitas soluciones.

2) El segundo caso es un poco más complejo, este nos requiere que las ecuaciones presenten infinitas soluciones, por lo tanto las rectas que componen el sistema deben ser coincidentes, que poseen todos los puntos en común.

Un libro que encontré nos dice que "Un sistema de infinitas soluciones se produce cuando los coeficientes de x, de y y los términos libres son proporcionales unos a otros"

Los coeficientes son los números que acompañan a las variables x e y

$$\begin{align}&(1-a)x+2y=3\\ &3(1+a)x+8y=12\\ &\\ &\frac{1-a}{3(1+a)}=\frac{2}{8}=\frac{3}{12}\\ &\\ &\frac{1-a}{3(1+a)}=\frac{2}{8}\\ &8-8a=6(1+a)\\ &8-8a=6+6a\\ &8-6=6a+8a\\ &2=14a\\ &\frac{2}{14}=a/(:2)\\ &\frac{1}{7}=a\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Luego comprobamos para ver si los coeficientes son proporcionales.

$$\begin{align}& \frac{1-a}{3(1+a)}=\frac{2}{8}=\frac{3}{12}\\ & \frac{1-\frac{1}{7}}{3(1+\frac{1}{7})}=\frac{2}{8}=\frac{3}{12}\\ & \frac{\frac{7-1}{7}}{3(\frac{7+1}{7})}=\frac{2}{8}=\frac{3}{12}\\ & \frac{\frac{6}{7}}{\frac{24}{7}}=\frac{2}{8}=\frac{3}{12}\\ & \frac{6}{24}=\frac{2}{8}=\frac{3}{12}\\ & \frac{1}{4}=\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\\ &\\ &\end{align}$$

Por lo tanto la condición se cumple, pues todos son proporcionales entonces ambas rectas serán coincidentes y el sistema presentara infinitas soluciones.

Además si reemplazas el a=1/7 en el sistema y luego simplificas la ecuación (1) por un 1/4, te entregara que ambas rectas serán iguales, por lo tanto una esta amplificada.