Probar por inducción

Probar por inducción es probar que la proposición se cumpla para el primer elemento y que si se cumple para un elemento n se cumple para n+1.

Durante la demostración usaré estas otras propiedades que se suponen ciertas, son imprescindibles:

i) a^(n+1) = a^n · a

ii) (ab)^n = a^n · b^n

Hagamos m=1 y n variable

a^(1+1) = a^2 = a·a =a^1·a^1

supongamos se cumple para n, veamos que se cumple para n+1

a^(1+n) =a^1·a^n

a(1+n+1) = (a^1·a^n)a = a^1·a^(n+1)

Luego se cumple para m = 1 con cualquier n

Veamos que si se cumple para m con cualquier n se cumple para m=m+1 con cualquier n

a^(m+n) = a^m·a^n

a^(m+1+n) = a^(m+n)a= a^m·a^n·a = a^(m+1)·a^n

Y con eso queda comprobado que a^(m+n)=a^m·a^n

Comprobemos ahora el otro.

Por cierto, lo tienes mal escrito, es esto lo que hay que demostrar.

(a^m)^n = a^(mn)

Primero hacemos m = 1 y n variable

(a^1)^1 = a^1 = a^(1·1)

Ahora supongamos se cumple para m=1 y cualquier n y veamos que se cumple para m=1 y n+1

(a^1)^n = a^(1·n)

(a^1)^(n+1) = [(a^1)^n]a = a^(1·n)a = a^(1·n+1) = a^(1·(n+1))

Luego se cumple para m =1 y cualquier n

Supongamos se cumple para m y cualquier n, veamos que se cumple para m+1 y cualquier n

(a^m)^n = a^(mn)

[a^(m+1)]^n =(a^m·a)^n = (a^m)^n · a^n = a^(mn)·a^n = a^(mn+n) = a^[(m+1)n]

Luego se cumple para m+1 con cualquier n.

Luego queda demostrada la inducción y se cumple para todo m con cualquier n

Y eso es todo.