División de Radicales de Distinto Índice

Antes de nada, para escribir una raíz cubica, cuarta o la que sea se procede así con el editor de ecuaciones

sqrt[n]{expresión}

Por ejemplo lo has escrito es

sqrt[3]{m^2n} \div sqrt[5]{m^3n^2}

$$\sqrt[3]{m^2n} \div \sqrt[5]{m^3n^2}$$

Depende lo que estés te lo pueden estar explicando de dos formas

Por el método de poner un radical común o por el método de poner los radicales como exponentes. Veámoslos ambos:

Poniendo radical común tomaríamos el mínimo común múltiplo de los radicales, que en este caso sería 3·5 =15 y cada radicando se elevaría al mcm dividido entre el radical que tiene.

Asi el primero se elevaría a la 5 y el segundo al 3. Al tener radical común se pueden juntar los radicandos bajo un mismo radical y operar entre ellos.

$$\begin{align}&\sqrt[3]{m^2n} \div \sqrt[5]{m^3n^2}=\\ &\\ &\sqrt[15]{(m^2n)^5} \div \sqrt[15]{(m^3n^2)^3}=\\ &\\ &\sqrt[15]{m^{10}n^5 \div m^9n^6}=\\ &\\ &\sqrt[15]{m \div n}=\sqrt[15]{\frac mn}\\ &\\ &\\ &\text{En realidad se prefiere la barra horizontal o \ a }\div \end{align}$$

Poniendo los radicales cono expónentes sería así:

$$\begin{align}&\sqrt[3]{m^2n} \div \sqrt[5]{m^3n^2}=\\ &\\ &\text {Usaré ya la preferencia de la barra sobre } \div \\ &\\ &\frac{(m^2n)^{\frac 13}}{(m^3n^2)^{\frac 15}}=\frac{m^{\frac 23}n^{\frac 13}}{m^{\frac 35}n^{\frac 25}}=\\ &\\ &\\ &\\ &m^{\left(\frac 23 - \frac 35 \right )}n^{ \left ( \frac 13 - \frac 25 \right ) }=m^{\left(\frac {10-9}{15} \right )}n^{ \left ( \frac {5-6}{15} \right ) }=\\ &\\ &\\ &m^{\left(\frac {1}{15} \right )}n^{ \left ( \frac {-1}{15} = \right ) }=\left(\frac mn \right)^{\frac{1}{15}}=\sqrt[15]{\frac mn}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$