Calcular los extremos relativos de la función diferenciable

La verdad es que siempre ha sido un lío esto de los máximos y mínimos en funciones de varias variables. Además ahora no se si te han enseñado la teoría para varias variables o solo para 2, porque para dos son tres condiciones que se comprueba mientras que para más tienes que manejar lo que son matrices definidas y semidefinidas positivas o negativas.

El método de los menores sirve precisamente para saber la definición que tiene la matriz Hessiana en el punto crítico

Si la Hessiana es semidefinida positiva es convexa (forma de copa) y el punto crítico es un mínimo

Si la Hessiana es semidefinida negativa es cóncava (la copa al revés) y el punto crítico es un máximo

1) Si todos los menores principales son positivos la matriz es semidefinida positiva y es un mínimo

2) Si los menores impares son negativos y los pares positivos, es semidefinida negativa y es un máximo. Me refiero siempre a menores principales.

3) Si todos los menores principales son distintos de cero y no se cumple ninguno de los dos anteriores es un punto de silla

4) Si algún menor principal es cero no se puede determinar nada, hay que hacer un estudio particular

El porqué de todo eso se estudia en Álgebra y no se puede explicar explicar en 5 segundos. Yo aun me pregunto porque sucede lo del apartado 2, ... ¿por qué no pueden ser positivos los impares y negativos los pares?

En otro momento a lo mejor me planteo salir de la duda, ahora vayamos con el problema.

f(x,y) = x^3 + 12xy - 24x - 12y^2

fx(x,y)=0 ==> 3x^2 + 12y - 24 = 0

fy(x,y)=0 ==> 12x - 24y = 0

Multiplicamos la primera por 2 y la sumamos a la segunda

6x^2 - 48 + 12x = 0

x^2 + 2x - 8 = 0

x = [-2 +- sqrt(4+32)]/2

se agradece que sean números enteros

x=(-2+-6)/2

x1=2

x2=-4

y1=12x1/24=24/24=1

y2=-48/24 = -2

Luego los puntos críticos son (2, 1) y (-4, -2)

Para el Hessiano necesitamos las derivadas segundas

fxx=6x

fxy=12

fyy=-24

         |6x  12|
H(x,y) = |      |
         |12 -24|
         |12  12|
H(2,1) = |      |
         |12 -24|
El menor principal de orden 1 es 12
El de orden 2 es 12(-24)-12·12 < 0
Pues no cumple 1 ni 2 y cumple 3, luego (2,1) es un punto de silla
           |-24 12|
H(-4,-2) = |      |
           |12 -24|
El menor principal de orden 1 es -24 < 0
El de orden 2 es (-24)(-24)-12·12 > 0 a simple vista
Cumple es segundo criterio, luego (-4,-2) es un máximo.

Y ese es le resultado. Las condiciones que uses para decidir será mejor que utilices las que te han enseñado o salgan en tu libro, no sea que el profesor no admita otras distintas.

Hola de nuevo Experto!!

Lo he entendido todo a excepción de este dato:

x^2 + 2x - 8 = 0

¿De dónde sale éste cálculo?

A la espera de su respuesta,

Muchas Gracias y Un Saludo!!

Multiplicamos la primera por 2 y la sumamos a la segunda
6x^2 - 48 + 12x = 0
x^2 + 2x - 8 = 0

Simplemente es dividir por 6 la de arriba para que los coeficientes sean más sencillos cuando resolvamos la ecuación de segundo grado, de paso aproveché para ponerla en orden.