Demostrar que f(z) es continua en z0 si y solo si lim h->0

f(z) es continua en z0 si y solo si

Para todo epsilon > 0 existe un delta >0 tal que si z cumple

0 < |zo-z| < delta, entonces se cumple |f(zo) - f(z)| < epsilon

Si llamamos h = z - zo tendremos

z = zo + h

Y sustituyendo quedará

f(z) es continua en z0 si y solo si

Para todo epsilon > 0 existe un delta > 0 tal que si h cumple

0 < |h| < delta, entonces se cumple |f(zo) - f(zo+h)| < epsilon

Lo dejamos clavado a como tiene que ser ya que dentro de un valor absoluto se puede cambiar el signo

f(z) es continua en z0 si y solo si
Para todo epsilon > 0 existe un delta > 0 tal que si h cumple
0 < |h| < delta, entonces se cumple |f(zo+h) - f(zo)| < epsilon

Y esto es equivalente a que

lim h-->0 [f(zo+h) - f(zo)] = 0

Luego es cierto.

Fíjate que el enunciado has puesto xo al final y era zo en todo momento.

Y eso es todo.