Probabilidad... Calculo de k
En un aula de 50 alumnos, la cantidad de estudiantes que resuelve los problemas en clase, tiene una variable aleatoria con la siguiente ley de probabilidades:
kn para n 1, 2, 3, ..., 20
P(X = n) =
5k para n 21, 22, 23, ..., 50
Pregunta: Halla el valor de k, para que P sea realmente una función de probabilidades.
Por favor, me puedes indicar si esta bien la forma en k lo estoy hallando???? 50 ? P(X = n) =1 n=1¦ 1k+2k+3k+4k+5k+6k+7k+8k+9k+10k+11k+12k+13k+14k+15k+16k+17k+18k+19k+20k+30(5k)=1 k=1/360
Saludos.
1 Respuesta
Imagino que es querido poner el símbolo de sumatorio. Pero es que en esta página no funcionan muchos de esos símbolos y los sustituye por una interrogación.
Bien, pues debe ser que la suma de todas las probabilidades sea 1 y lo estás haciendo bien. Pero no sé si habrás sumado todos los números o has usado la fórmula de la suma de la progresión aritmética.
Tienes que sumar
k+2k+3k+...+20k = k(1+2+3+...+20)
Y aquí para hacerlo elegante hay que usar la fórmula que dice
Sn = n(a1+an)/2
S20 = 20(1+20)/2 = 10·21 = 210
Y esa suma parcial es 210k
La suma total es 210k + 30(5k) = 360k
Como 360k = 1
k = 1/360
Luego está bien hecho pero tienes que usar la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. Imagínate que en vez de ser 20 fueran 200 o 2000 los números naturales a sumar. ¿Serías capaz de sumarlos uno por uno?
Y eso es todo.
Hola:
Respondiendo a tu pregunta, creo si. XD porque en la misma pregunta me piden calcular la desviación estándar y lo hice asi:
E[X]=1×0,003+2×0,006+3×0,008+4×0,011+5×0,014+6×0,017+7×0,019+8×0,022+9×0,025+10×0,028+ 11×0,031+12×0,033+13×0,036+14×0,039+15×0,042+16×0,044+17×0,047+18×0,05+19×0,053+20×0,056+ ((50(1+50)/2)-(20(1+20)/2))×0,014 E[X]=22,89 E[X^2]=1×0,003+4×0,006+9×0,008+16×0,011+25×0,014+36×0,017+49×0,019+64×0,022+81×0,025+ 100×0,028+121×0,031+144×0,033+169×0,036+196×0,039+225×0,042+256×0,044+289×0,047+324×0,05+ 361×0,053+400×0,056+[50(50+1)(50+0,5)/3-20(20+1)(20+0,5)/3]×0,014 <br class="pun" />E[X^2]=683,432 V[X]=683,432-(22,89)^2 V[X]=159,4799 s=12,6285
Como verá trate de aplicar sus recomendaciones, pero, hay alguna manera de abreviarla más?
Me parece que has transformado los números racionales en números de tres decimales, eso no está bien y produce errores.
Ya habíamos Visto que k = 1/360
E[X] = [1/360 + 2·2/360 + 3·3/360 +...+ 20·20/360 + 21·5/360+ 22·5/360+...+ 50·5/360] =
Sacamos de factor común 1/360
(1/360)[1+4+9+...+400 + 5(20+21+22+...+50)] =
Lo primero es la suma de los 20 cuadrados primeros, normalmente tendrás que hacerla entera porque no creo que hayas dado esta fórmula:
http://es.easycalculation.com/álgebra/sum-of-consecutivesquare.php
Que dice que la suma de los primeros n cuadrados es:
Suma de los cuadrados consecutivos = n(n+1)(2n+1)/6
Los 20 primeros cuadrados, del 1 al 400, suman 20·21·41/6 = 2870
Luego tienes un 5(20+21+22+ ... + 50)
Esto se calcula usando la formula de la suma de 30 términos de una sucesión aritmética
5·30(20+50)/2 = 5·15·70 = 5250
En resumen te queda:
E[X] = (1/360) (2870+5250) = (1/360)8120 = 22,555...
Que puedes ver es bastante distinto del 22,89 que te daba. Habías metido muchos redondeos y hay que procurar operar con fracciones y no con números decimales
La Varianza se calcula como bien has hecho mediante:
V[X] = E[X^2] - (E[X])^2
Y para calcular esto de nuevo hay que usar fracciones y al final fórmulas no habituales para evitar hacer muchas sumas.
E[X^2] = (1/360)[1+ 2^3 + 3^3 + ...+ 20^3 + 5(21^2 + 21^2 + ....+ 50^2)]
La suma de los primeros cubos también tiene una fórmula:
http://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_(aritm%C3%A9tica)
Suma de los n primeros cubos = [n(n+1)/2]^2
En otros sitios dice que es la suma de los n primeros números elevada al cuadrado. Son exactamente lo mismo.
Luego la suma de los 20 cubos primeros
Suma 20 cubos primeros = (20·21/2)^2 = 210^2 = 44100
También tendrías que hallar la suma de los cuadrados del 21 al 50. Eso se puede hacer como la suma de los 50 cuadrados y restarle la suma de los 20
Suma cuadrados de 21 al 50 = 50·51·101/6 - 20·21·41/6 =
42925 - 2870 = 40055
Y esos cuadrados tenían un 5 multiplicándolos
5 · 40055 = 200275
E[Y^2] = (1/360)(44100 + 200275) = 244375/360 = 678,8194444
V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 678,8194444 - 22,555...^2 =
678,8194444 - 508,7530864 = 170,066358
Y finalmente:
s = sqrt(170,066358) = 13,04094928
Como puedes ver de nuevo hay diferencia apreciables, también motivadas por el error en el calculo de la media que se arrastraba.
Y eso es todo, no sé si estos métodos son demasiado avanzados, pero sirven para comprobar la exactitud de las cuentas Y si se saben manejar nos evitan hacer muchas.
