Determinar las coordenadas del punto de tangencia dada la ecuación de la curva y la pendiente

La derivada de una función en un punto nos da precisamente la pendiente de la tangente en ese punto. Luego lo que debemos hacer encontrar el punto de la función donde la derivada es uno.

Ese es el método general, lo cual no quita para que sabiendo que eso es una circunferencia de radio 6 centrada en el origen sepamos que esos puntos de tangencia son:

(3sqrt(2), 3sqrt(2)) y

(-3sqrt(2), -3sqrt(2))

Donde sqrt es la raíz cuadrada.

Ya que con medianos conocimientos de trigonometría esos son los puntos de la circunferencia con ángulo 45º y 225ª que son donde la tangente tiene esa pendiente Si te sirve este argumento geométrico ya está, si no, sigue leyendo.

La curva x^2+y^2 = 36 podmos ponerla en forma explicita
como la unión de dos funciones
y = sqrt(36-x^2)
y = -sqrt(36-x^2)
La primera dibujará la parte superior de la circunferencia 
y la segunda la inferior. Deivaremos e igualaremos a -1
y' = x/sqrt(36-x^2)= -1
x = -sqrt(36-x^2)
elevamos al cuadrado
x^2 = 36-x^2
2x^2 = 36
x^2 = 18
x = sqrt(18) = sqrt(2·3^2) = 3sqrt(2)
y entonces y vale
y = sqrt(36 - x^2) = sqrt(36-18) = sqrt(18) = 3sqrt(2)
Para la rama de la curva
y=-sqrt(36-x^2)
se hacen idéticas operaciones, solol que cuando se llega a
x^2 = 18
se tiene que tomar la solución negativa
x = -sqrt(18) = -3sqrt(2)
y = -sqrt(36-18) = -sqrt(18) = -3sqrt(2)