Teoría de Ecuaciones II: Raíces

Yo no recuerdo haber estudiado un tema que fuera teoría sobre las raíces de los polinomios. Sería bueno si me dijeras el nivel de los estudios y si es posible el libro donde lo estás estudiando. Porque dependiendo de los teoremas que haya allí se resolverán de una u otra forma.

La comprobación de que sqrt(7) es una raíz es sencilla, hay que ver que el polinomio vale cero en sqrt(7)

P[sqrt(7)]= 49 - 4·7·sqrt(7) + 28sqrt(7) - 49 = 0

Y aquí es donde se acabaría lo que puedo hacer sin saber que teoría estas dando.

Pero a uno se le ocurre pensar que a lo mejor la raíz opuesta también sirve, no tiene por que. Pero por la forma como se han cancelado los sumandos entre si es para pensarlo.

P[-sqrt(7)] = 49 + 4·7·sqrt(7) -28sqrt(7) -49 = 0

Luego -sqrt(7) también es raíz

Y ahora dividiríamos por los polinomios (x+sqrt(7)) y (x-sqrt(7)). Lo que pasa es que un rollo manejar esa expresión, llamare s = sqrt(7)

     1   -4    0       28      -49
S s s^2-4s 7s-4s^2 7s^2 
     ------------------------------
     1  s-4   7-4s   7s-28+28  | 0
-s      -s     +4s   7s
     ------------------------
     1  -4    7      0

Luego el polinomio que queda es

x^2 -4x + 7

Que tiene pintas de no tener raíces reales, y no las tiene. Pero por si tienes que dar las complejas es

x = [4 +- sqrt(16-28)] / 2 =

[4 +- sqrt(-12)] / 2 =

[4 +- 2sqrt(-3)] / 2 =

2 +- sqrt(-3)

Luego las cuatro raíces son:

$$\sqrt 7, \;\;\;-\sqrt 7, \;\;\; 2+\sqrt 3i,\;\;\; 2-\sqrt 3i$$

Y eso es todo.