Si haces la evaluación te da 1/0 - 1/0 = oo - oo que es una indeterminación. Lo que haremos es poner denominador común y veremos si se resuelve.
Hay que hacer una división de polinomios, si no las hacemos al principio habrá que hacerla al final. Ambos polinomios valen 0 para x=1 luego tienen el factor (x-1)
Ahora dividimos por Ruffini
-1 0 0 1
1 -1 -1 1
--------------
-1 -1 -1 0
De donde tenemos
-x^3 -1 = -(x-1)(x^2+x+1) =(1-x)(x^2+x+1)
con esto vayamos al límite
$$\begin{align}&\lim_{x \to 1} {\frac{1}{1-x}- {\frac{3}{1-x^3} } } = \\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x+1-3}{(1-x)(x^2+x+1)}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to 1} \frac{x^2+x-2}{(1-x)(x^2+x+1)}=\end{align}$$
Y el numerador vale 0 en 1, luego es múltiplo de (x-1), no usaremos Ruffini ni la ecuación de segundo grado, se ve a simple vista que es (x-1))(x+2)
$$\begin{align}&\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(x^2+x+1)}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to 1} \frac{-(x+2)}{(x^2+x+1)}=-\frac{3}{3}=-1\\ &\\ &\end{align}$$
Y eso es todo.