Problema de crecimiento exponencial. Me podrían ayudar con este problema. Gracias
El Yodo 131 es radiactivo y tiene una semivida de 8 diasas. En una prueba medica un paciente ingiere una dosis inicial de 131I (el 131 es un exponente y la I es el yodo) que emite 100 milicuries (mCi), y que se acumula de forma natural en su tiroides.
>Que emisión de I producirá el paciente al cabo de una semana?
Cuando estarán las emisiones por debajo de 5 mCi?
Podemos expresar la cantidad de isotopos mediante una fórmula exponencial, por ponerlo lo más sencillo posible la haremos con base 1/2 = 0.5
N(t) =N(0)·(1^2)^(kt)
Para que en 8 días tengamos la mitad el exponente debe ser 1
k·8 = 1
k = 1/8
Luego la fórmula es
N(t) = N(0) ·(1/2)^(t/8)
Y ya con la fórmula sustituimos los datos
N(7) = 131·(1/2)^(7/8) = 131·0,5452538663 = 71.42825649
Y ahora calculamos
5 <= 131(1/2)^(t/8)
extraemos logaritmos neperianos
5/131 <= (1/2)^(t/8)
extrayendo logaritmos neperianos
ln(5/131) <= (t/8) ln(1/2)
ln(5/131) / ln(1/2) <= t/8
t >= 8·ln(5/131) / ln(1/2) = 8 · (-3.26579411) / (-0.6931471806) = 37.69195925
Luego deberán pasar 37.69195925 días
Aproximadamente 37 días 16 horas 36 min 25.28 seg
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así o prefieres resolverlo con otras fórmulas (que sé que las hay con el número e y exponentes negativos) pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar.
Hola, muchísimas gracias por responder. Aún así no entiendo muy bien lo que has hecho, me lo podrías explicar de otra manera? gracias
No leí bien el enunciado pensaba que el 131 era la radiación y en realidad es 100 mCi.
Usaré la fórmula habitual que seguramente tendrás en tu teoría. N(t) es el numero de átomos del material radiactivo que quedan en el instante t . O en vez de número puede ser la masa. Como la emisión radiactiva es proporcional al número de átomos la misma fórmula sirve para medir la emisión en el instante t.
$$\begin{align}&N(t)= N_0e^{-\lambda t}\\ &\\ &\text{Calculamos el }\lambda \text{ que hace que en 8 dias haya la mitad}\\ &\\ &N(8)=\frac{N_0}{2}=N_oe^{-8\lambda}\\ &\\ &\frac 12=e^{-8\lambda}\\ &\\ &ln \frac 12= -8\lambda\\ &\\ &\lambda=\frac{ln \frac 12}{-8}= \frac{-0.6931471806}{-8}=0.08664339757\\ &\\ &\text{Luego la fórmula es:}\\ &\\ &N(t) = N_0·e^{-0.08664339757\,·\,t}\\ &\\ &N(7)=100e^{-0.08664339757\,·\,7}= \\ &\\ &100e^{-0.606503783}=\\ &\\ &100·0.5452538663=\\ &\\ &54.52538663\,mCi\end{align}$$Y para la segunda parte se hace lo mismo que antes pero con esta fórmula.
$$\begin{align}&N(t) = N_0·e^{-0.08664339757\,·\,t}\\ &\\ &5\ge=100· e^{-0.08664339757\,·\,t}\\ &\\ &\frac{5}{100}\ge e^{-0.08664339757\,·\,t}\\ &\\ &\text{extraemos logaritmos neperianos}\\ &\\ &ln\, 0.05 \ge -0.08664339757\,·\,t\\ &\\ &\text{al dividir por un negativo cambia el sentido}\\ &\\ &\frac{ln \,0.05}{-0.08664339757}\le t\\ &\\ &\\ &\\ &34.57542476 \le t\end{align}$$Luego el tiempo debe ser mayor o igual que 34.57542476 días
Para traducirlo a horas, minutos segundos tomamos la parte decimal y la multiplicamos por 24 que son las horas del día
34.57542476 días =
34 días + 0.57542476 · 24 horas = 34 días y 13.81019424 horas=
Ahora tomamos la parte decimal de las horas y la multiplicamos por 60 para que dé los minutos
= 34 días 13 horas 48.6116544 minutos =
Y finalmente tomamos la parte decimal de los minutos y por 60 nos dará los segundos
34 días 13 horas 48 minutos 36.70 segundos.
Y eso es todo, espero que ahora esté más de acuerdo con lo que has estudiado. Es que yo no sé si es un problema de matemáticas o física, si estudias en el colegio o en la universidad, por eso no sé lo que te tengo que explicar y lo que ya sabes.
