Variables que aumentan y disminuyen en la misma proporción
Buenas de nuevo Valeroasm!!
Estoy resolviendo un problema y me he quedado en el punto c). La parte a) y b) ya la he resuelto. Me pedían que calculase la gradiente y la hessiana, y no he tenido problema alguno en resolver esas dos partes. Sin embargo, aunque la parte c) es similar a un ejercicio que hicimos, me despista bastante el hecho de que unas aumenten mientras otras disminuyen y no sé por dónde cogerlo. Se refiere a que aumentan "x" y "z", mientras que "y" disminuye. El problema es el siguiente:
Dada la siguiente función diferenciable:
$$\begin{align}&f(x,y,z)=y^2-5xyz+2zx^2-xy\\ &\end{align}$$c) Determinar la monotonía y la convexidad de la función en el punto (1,2,1) en el supuesto que la 1ª variable aumenta en la misma proporción que la 3ª y la segunda variable disminuye en la misma proporción que aumentan las otras dos variables.
¿Podrías explicármelo?
A la espera de tu respuesta,
Gracias y un Saludo
1 Respuesta
El problema es más una cuestión de lenguaje que otra cosa.
Dada una función de 2 o más variables la monotonía y convexidad en un punto puede ser distinta dependiendo de la dirección que tomemos. Si el punto fuera un mínimo por ejemplo, la función sería monótona creciente en todas las direcciones, pero en un punto cualquiera la función crecerá en uns direcciones y decrecerá en otras. También puede ser que según la dirección sea convexa o cóncava la dirección.
Pues todo ese embrollo de lenguaje lo han empleado para darnos la dirección pero sin decirla explícitamente.
Si estás en el punto (1,2,1) y te dan una dirección a seguir (a, b, c) vas a ir a los puntos
(1, 2, 1) + t(a, b, c) = (1+at, 2+bt, 1+ct)
El incremento de la primera variable es at,
El incremento de la segunda es bt y
el de la tercera es ct.
Si no dicen que la primera y tercera variable aumentan en la misma proporción quiere decir que
at = ct, luego a=c
Y si la segunda disminuye en la misma proporción quiere decir
bt=-at
luego
b=-a
Luego el vector (a,b,c) es (a,-a,a)
Cuya dirección es (1,-1,1)
Luego la pregunta es:
Calcular la monotonía y convexidad de la función
f(x,y,z) = y^2 - 5xyz + 2zx^2 -xy
en el punto (1,2,1) en la dirección (1,-1,1)
La forma de resolverlo es hallar la función restringida g de una variable t que corresponde a la función f cunado sigue esa dirección y pasa por ese punto.
g(t) = f(1+t, 2-t, 1+t) = (2-t)^2 - 5(1+t)(2-t)(1+t) + 2(1+t)(1+t)^2 - (1+t)(2-t)
No es tarea cómoda hacerlo, para empezar tendrás que operar unos cuantos productos de binomios. Te pregunto si quieres hacerla tu y si acaso me mandas luego el resultado para que lo compruebe o si no sabes hacerlo y quieres que la haga.
Creo que más o menos sé por dónde cogerlo. Ya hemos resuelto varios similares. Supongo que tengo que hallar la derivada direccional y para ello debo normalizar el vector gradiente, ¿voy bien o me equivoco?
Un Saludo
Ya lo tengo resuelto!! Ahora más tarde se lo enviaré escaneado, a ver si voy por el buen camino, je je!!
Un Saludo
Genial!! Gracias por guiarme por el buen camino!! El profesor ya ha subido el ejercicio resuelto, he comparado el mío con el suyo y lo tengo tal cuál. Muchísimas gracias por la explicación, ha sido totalmente acertada!!
Reciba un cordial saludo
