Suponga que... Demostrar
Suponga que el lim x->x0 f(x)=L demostrar que existen d>0 y M>0 tales que |f(x)|<M, si x pertenece ( x0- d,x0+ d)
Por ser L el límite de f(x) cuando x --> xo se cumple que dado cualquier epsilon > 0 existe un entorno abierto de radio delta alrededor de xo donde todos sus elementos salvo xo (llamémosles x) verifican que |f(x)-L|<epsilon
Entonces, dado un epsilon cualquiera y tomaremos como delta el delta que le corresponde para cumplir la definición del límite, entonces todos los x del entorno (salvo si acaso el propio xo) verifican
|f(x) - L| < epsilon
|f(x) - L| + |L| < epsilon + |L|
usamos la propiedad triangular del valor absoluto
|f(x)| = |(f(x) - L) + L| <= |f(x) - L| + |L| < epsilon + |L|
|f(x)| < |L|+ epsilon
para todo x € (xo-d, xo+d) - {xo}
para hacer que en xo también haya una cota, haremos que si si |f(xo)| > |L|+epsilon tomaremos como cota |f(xo)|+epsilon
M = epsilon + max{|L|, |f(xo)|}
Como puede verse no hay un d y M únicos, sino que dependen de un epsilon que debemos tomar, cuanto mas pequeño sea epsilon más pequeños serán d y M, siendo M una cota más precisa cuanto más pequeño es epsilon
