Funciones Racionales e Irracionales
Considere la funciòn h:R---R definida de la siguiente manera
h(x) = x si x es racional
= -x si x es irracional.
Demuestre que la funciòn es continua en el punto x = 0 y discontinua en cualquier otro punto.
1 Respuesta
Para demostrar que es continua debemos ver que el límite de la función un un punto es el valor en ese punto. Para ver que no nio es continua debemos ver que el valor de la función no coincide con el límite o que no existe el límite.
Cuando xo = 0 tenemos f(xo) = 0 ya que 0 es racional
Dado un épsilon>0 tomaremos como delta ese mismo épsilon
entonces si 0<|x-0| = |x| < delta tendremos
|f(x) - f(xo)| = |f(x) - 0| = |f(x)| = | x ó - x| = |x| < delta = epsilon
Luego el límite es 0 y la función es continua en 0
Si xo distinto de 0 en cualquier intervalo (xo-delta, xo+delta) con delta>0, tendremos puntos racionales e irracionales, unos tendrán límite xo y otros -xo. Y como en este caso xo distinto de 0 tendremos xo distinto de -xo por lo que no habrá límite y la función no será continua.
Y eso es todo.
