Métodos de los limites direccionales
Al calcular la continuidad por el método de los límites direccionales, introducimos en la función un parámetro, normalmente y=mx pero no entiendo si siempre se utiliza mx o puede usarse, por ejemplo, mx^2, es que he visto ejercicios con el mismo y no entiendo si hay que usar uno u otro...
1 Respuesta
Imagino que estas hablando de los límites de dos variables.
Los límites direccionales no nos garantizan que exista el límite, simplemente se usan para ver que no existe. Entonces si el límite para un valor y=mx es distinto que para otro y=nx se puede asegurar que no existe el límite, lo mismo que si no existe para una dirección. Pero aunque el límite sea siempre el mismo para todas las direcciones no se puede garantizar nada y a veces para ver que no hay límite se usan otras direcciones, la que dices y=mx^2 sería la dirección dada por una familia de parábolas y el fin es el mismo, demostrar que no existe. Porque aunque fuese igual para todas las y=mx^2 te faltaría probar que coincide con cualquier otra dirección por ejemplo mx^3, 1-e^(mx), cos(mx), etc.
Luego la existencia y el valor del límite se tiene que demostrar con métodos del tipo epsilon y delta.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no pregúntame más, y si ya está bien no olvides puntuar.
el método epsilon y delta es el de vectores escalares o algo así?
mi duda era que veía que en algunas funciones usaban mx^2 y en otras mx, yo consideraba que la primera se usaba cuando por ejemplo una función es x^2*y^2/x+y, al ser el numerador al cuadrado, pues lo elevaba!
Gracias y Un Saludo
El que he llamado método epsilon y delta es el cálculo del límite por la definición misma. Es decir
$$\begin{align}&\lim_{(x,y) \to (x_0,y0)} f(x,y)= l \iff \\ &\forall \epsilon\gt0 \;\;\exists \delta\gt0 \;tal\;que \;\forall x,y \ que \;cumple\; \\ &(x,y)\in Dom f \; y \;0\lt \sqrt{x^2+y^2}\lt \delta\\ &se\;cumple\; |f(x,y)-l|\lt \epsilon\end{align}$$Esto que he dicho sirve para el límite, cuando se trate de demostrar que una función es continua hay que ver que el límite así calculado coincide con el valor de la función en ese punto (xo, yo)
El tomar direcciones mx, mx^2 u otra depende de cada función en concreto, no sé yo que haya un criterio estándar escrito sobre cuál usar en cada caso. Como ya te decía se usan para contradecir la existencia del límite, entonces se prueba con unas y si no sirve se prueba con otras. La experiencia puede ayudarte a decidir qué tipo de dirección va a ser la que necesites. Pero antes de dictar unas reglas sobre qué tipo de funciones direccionales usar, es mejor que pruebes para entender en que consiste el método y poder deducirlas por tí mismo.
Y eso es todo.
