Hallar la ecuación de la circunferencia

Si una circunferencia es tangente a dos rectas la distancia de los puntos de tangencia al punto donde se cortan las rectas es igual y el centro de la circunferencia está en la bisectriz de las dos rectas. Como hay dos bisectrices habrá dos soluciones. Para hallar la recta bisectriz tenemos que calcular el vector suma de dos vectores de igual módulo de las dos rectas, ese será el vector director de la bisectriz

. Dada una recta en la forma

Ax + By + C = 0

Su vector director es (B, -A) o (-B, A) si conviene más (yo uso siempre aquel haga que la primera coordenada sea positiva)

Luego los vectores de las rectas son

(3,1) y (1,-3)

Y hemos tenido suerte porque tienen el mismo módulo, no hará falta normalizarlos

Una bisectriz tendrá por vector la suma de los dos vectores y otra la de un vector y el opuesto del otro

v1= (3,1) + (1,-3) = (4, -2)

v2 = (3,1) + (-1, 3) = (2, 4)

Bueno también se podría calcular v2 como perpendicular a v1

Para las ecuaciones de las bisectrices nos falta conocer un punto de ellas, el único que conocemos es el punto de corte de las dos rectas

x-3y+9=0

3x+y-3=0

la segunda multiplicada por 3 se suma a la primera

10x - 0 = 0

x=0

0-3y+9=0

y=3

Luego el punto donde se cortan es (0,3)

Y la ecuación de la bisectriz 1 es

x/4 = (y-3)/-2

-2x =4y-12

2x+4y-12=0

y hay que calcular la intersección con la recta que tiene el centro

7x+12y-32=0

La de arriba por -3 se suma a la segunda

x +4 = 0

x=-4

calculamos y

-28+12y-32=0

12y = 60

y=5

Luego el centro de la primera circunferencia es (-4,5)

Y para saber el radio se calcula la distancia de este punto a una de las rectas tangentes

r = d = |x-3y+9|/sqrt(10) = |-4-15+9|/sqrt(10)= 10/sqr(10) = sqrt(10)

Luego la ecuación de la circunferencia primera es

C1: (x+4)^2 +(y-5)^2 = 10

Y la ecuación de la bisectriz 2 con el vector v2=(2,4) y el punto (0,3) es

x/2 = (y-3)/4

4x=2y-6

4x-2y+6=0

calculamos la intersección con la recta del centro

7x+12y-32=0

la de arriba por 6 se suma a la segunda

31x + 4 = 0

x=-4/31

calculamos y

4(-4/31) - 2y +6 = 0

2y = -16/31+6 = (-16+186)/31 = 170/31

y = 85/31

Luego el centro es (-4/31, 85/31)

Y el radio será la distancia a una de las rectas tangentes

r = d = |x-3y+9|/sqrt(10) = |-4/31 - 255/31 + 9| / sqrt(10) =

|-259/31 + 9| / sqrt(10) = | (-259+279)/31| / sqrt(10) =

(20/31)/sqrt(10) = 20/(31sqrt(10) = 20sqrt(10)/310 =

2sqrt(10)/31

Y la ecuación de la circunferencia sería

(x + 4/31)^2 + (y - 85/31)^2 = 4·10/(31^2)

C2: (x + 4/31)^2 + (y - 85/31)^2 = 40/961

Y eso es todo.