Área de la región
Hola buenas noches experto tengo el siguiente ejercicio y me gustaría saber como se hace porque no me aclaro tengo varios ejemplos pero me lio cada vez mas.
Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de la parábola de ecuación y = x^2 + 4x +2 , el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = 1 y x =3.
He calculado el vértice de la parábola: V(-2,-2).
Puntos de corte :
cuando x= 0 es ( 0,2)
cuando y = 0 es (-2 + raíz cuadrada de 2 , 0) y (-2 - raíz cuadrada de 2, 0).
Y ya no sé cómo seguir porque la parábola no coincide con las rectas que da el enunciado.No sé que valores coger para integrar la recta y = x^2 + 4x + 2.
Muchas gracias por su gran ayuda.
Saludos.
1 respuesta
Este es el problema normal de cálculo de áreas. La simple integración entre los puntos x=-1 y x=3 de la función nos va a dar el área pedida. Cuando las rectas son verticales no se añade ninguna complicación. Otra cosa sería si las rectas no fueran verticales que habria que integrar una expresión distinta.
El único problema puede darse cuando la función cambie de signo en ese intervalo, ya que la integral reflejaria el area por debajo del eje X como negativa y compensaría las areas por arriba con las de abajo.
Para ver si vamos a tener ese problema se puede hacer el dibujo de la parabola. Aquí es bastante trabajoso hacer imágenes y adjuntarlas. Otra forma es ver que la función
x^2+4x+2 es siempre positiva entre x=1 y x=3. Creo que se ve bien claro que sí, ya que los tres sumandos son positivos para esos valores de x.
Luego la función es siempre positiva y la integral entre 1 y 3 nos dará el área.
$$\begin{align}&\int_1^3 (x^2+4x+2)dx=\\ &\\ &\left[\frac{x^3}{3}+2x^2+2x\right]_1^3=\\ &\\ &\frac{27}{3}+18+6-\frac 13-2-2=\\ &\\ &\frac{26}{3}+20=\frac{26+60}{3}=\frac{86}{3}\;u^2\end{align}$$Y eso es todo.
Hola experto sí lo entiendo pero entonces no se calcula con el eje de abscisas?, o es sólo con 1 y 3.?
Muchas gracias
El eje de abscisas es el eje X. La integral definida entre dos puntos a y b es el área de la región limitada por el el eje X y la curva entre las rectas x=a y x=b, eso es lo que dice la teoría.
Y eso es precisamente lo que nos piden en el ejercicio. Y el único problema a tener en cuenta es que la función pueda ser positiva y negativa. Que ya hemos comprobado que no es así.
Por ello la integral que he hecho es el área delimitada por la curva, el eje de abscisas y las rectas x=1 y x=3
