Tema de axiomas en los números reales

Los valores absolutos pueden coincidir o no con lo que tienen dentro. La idea es quitarlos para poder resolver las ecuaciones, pero de modo que lo que queda sea positivo, de la misma forma que era con el valor absoluto.

Tenemos el valor absoluto de

2x -5

Veamos cuando es negativo y positivo

2x-5 >0

2x > 5

x > 5/2

Luego en (-oo, 5/2) es negativo y en (5/2, oo) es positivo

Lo que haremos es dividir la ecuación en dos ecuaciones una para un intervalo y otra para el otro.

En el intervalo (-oo, 5/2) pondremos 5-2x para que sea positivo y en (5/2, oo) pondremos 2x-5 para que sea positivo igualmente.

Asimismo tenemos otro valor absoluto, el de x

Este es negativo cuando x < 0 y positivo cuando x>0

Entre los dos valores absolutos se divide la recta real en 3 intervalos y en cada uno se debe plantear una ecuación distinta para que lo que se ponga en lugar de los valores absolutos sea positivo

1) En (-oo, 0) los interiores de ambos valores son negativos, luego les cambiamos el signo a los dos y queda esta ecuación

x - 2x + 5 = 1 - x

5=1

absurdo, no hay soluciones en dicho intervalo

2) En (0,5/2) el valor absoluto de x se puede sustituiré por x pero 2x-5 se tiene que sustituir por -2x + 5 para que sea positivo

x -2x + 5 = 1 + x

-2x = -4

x =2

Esa solución sirve porque está en (0, 5/2)

3) En (5/2, oo) Los dos interiores son positivos, luego se pueden quitar los valores absolutos dejando el interior intacto

x +2x - 5 = 1 + x

2x = 6

x = 3

y esta solución sirve ya que está en el intervalo (5/2, oo)

Luego las soluciones son dos,

x=2

x=3

Puedes comprobar fácilmente que satisfacen la ecuación original.

Y eso es todo.