Derivada por limites de valor absoluto

Los valores absolutos son muy malos, hay que quitarlos para poder hacer muchas operaciones. Y para quitarlos hay que considerar los intervalos de x donde la expresión de dentro de valor absoluto es positiva o negativa.

En este caso es muy sencillo, la expresión de dentro es x y sera positiva cuando x sea positiva y negativa cuando la expresión sea negativa. Entonces podemos hacer la fusión como dos trozos. Cuando x sea negativa su valor absoluto sea -x y cuando x sea positiva su valor absoluto es x.

f(x) = x(-x) = -x^2 si x€(-oo, 0)

xx= x^2 si x€[0,+oo)

No hay ningún problema con la derivada fuera del valor x=0

f '(x) = -2x si x €(-oo, 0)

f '(x) = 2x si x €(0, +oo)

Y en x=0 el límite de la derivada por la izquierda es -2·0 = 0 y por la derecha 2·0=0, luego coinciden y la derivada es cero

Y si lo examinamos, todo ello se puede reducir a una expresión única

f '(x) = 2|x|

Lo hecho no es estrictamente por definición, vamos a hacerlo así:

$$\begin{align}&f´(x) =\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)|x+h|}{h}\\ &\\ &Si \;x \lt0\\ &\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)(-x-h)-x|x|}{h}=\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{-x^2-2xh-h^2+x^2}{h}=\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{-2xh-h^2}{h}=-2x\\ &\\ &\\ &Si x>0\\ &\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)(xhh)-xx}{h}=\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h}= 2x\end{align}$$

si x=0 se toman límites por la derecha y la izquierda que son 2x y -2x que coinciden y son cero.

Y finalmente, igual que antes se puede integrar todo en una sola expresión que es

f '(x) = 2|x|

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no entendiste algo o aún falta algo de rigor pregúntamelo.