Ejercicio sobre espacio generador
Como resolver este ejercicio explicame el concepto de espacio generador
Dice asi:
Determinar si los siguientes polinomios generan
P_{2}P1=1-x+2x^2
P2= 3+x
P3=5-x+4x^2
P4=-2-2x +2x^2
1 respuesta
Un conjunto de vectores es un conjunto generador del espacio vectorial si todo elemento del espacio puede ponerse como combinación lineal de esos vectores.
En nuestro caso sería:
Para todo P € P_2 existen escalares t1, t2, t3, t4 € R tales que
P = t1·P1 + t2·P2 + t3·P3 + t4·P4
Como los t1, t2, t3, t4 van a dar problemas pondré q, r, s, t,
Esto se puede demostrar a mano, es decir resolviendo y viendo que es posible
q(1-x+2x^2) +r(3+x) + s(5-x+4x^2) + t(2-2x+2x^2) = a + bx + cx^2
de donde se deducen esta ecuaciones
1) q + 3r + 5s + 2t = a
2) -q + r - s - 2t = b
3) 2q + 4s +2t = c
Sumando 1) y 2)
4r+4s = a+b
No es sencillo de resolver por métodos sin matrices. Tendría que saber si ya habéis dado la resolución ecuaciones usando matrices pra resolverla sin morir en el intento. Es que es muy difícil resolver algunos problemas sin sabe el temario que habéis dado, el orden y los ejercicios resueltos.
Confírmame si puedo resolver la ecuación con matrices.
valeroasm pues este tip ode sistema me han enseñado a resolverlos por el método de gauss jordán. por determinantes y matriz inversa se puede resolver pero no se como empezar, si quieres lo haces por este ultimo y de paso yo refresco conceptos de determinantes e invertibilidad de matrices. como prefieras. a otra cosa fijate bien que el polinomio p_4 es -2 -2x+2x^2 empieza con -2, no con 2, como lo tienes arriba. fijate
¡Ah, pues bien!
Usaré el método de Gauss-Jordan, los otros no da gusto, pueden tener alguna importancia teórica pero en la práctica no se usan.
Corregiré también lo que me decías de P4
q(1-x+2x^2) +r(3+x) + s(5-x+4x^2) + t(-2-2x+2x^2) = a + bx + cx^2
de donde se deducen esta ecuaciones
1) q + 3r + 5s - 2t = a
2) -q + r - s - 2t = b
3) 2q + 4s +2t = c
$$\begin{pmatrix}
1&3&5&-2&|&a\\
-1&1&-1&-2&|&b\\
2&0&4&2&|&c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&3&5&-2&|&a\\
0&4&4&-4&|&b+a\\
0&-6&-6&6&|&c-2a
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
1&3&5&-2&|&a\\
0&4&4&-4&|&b+a\\
0&0&0&0&|&c-2a+\frac{3(b+a)}{2}
\end{pmatrix}$$Y el sistema es incompatible salvo para unos pocos valores de a,b,c. El resultado tercero sera distinto de cero normalmente y entonces es imposible que 0 unidades de q,r,s,t sumen algo distinto de cero.
Luego ese conjunto de vectores no es un sistema generador de P_2
Y eso es todo.
