Demostración por Inducción Matemática

Escribimos lo que ya teníamos

b) n^2(n^4-1) múltiplo de 60
Veamos que se cumple para n=1
1^2(1^4 - 1) = 1(1-1) = 0
lo cumple, el 0 es múltiplo de todo.
Y ahora suponiendo que se cumple para n vamos a ver que se cumple para n+1
(n+1)^2[(n+1)^4 -1) =
(n^2+2n+1)(n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1) =
n^2(n^4-1) + n^2(4n^3+6n^2+4n+1) + (2n+1)(n^4+4n^3+6n^2+4n)=
n^2(n^4-1) + 4n^5+6n^4+4n^3+n^2+2n^5+8n^4+12n^3+8n^2+n^4+4n^3+6n^2+4n =
n^2(n^4+1) + 6n^5 +15n^4 +20n^3 +15n^2 + 4n

El primer término es múltiplo de 60 por hipótesis de inducción. Luego podemos eliminarlo y sirve con demostrar que lo siguiente es múltiplo de 60

Luego el problema queda reducido a demostrar que

6n^5 +15n^4 +20n^3 +15n^2 + 4n es múltiplo de 60

Lo hacemos por inducción claro

Para n=1 vale 6+15+20+15+4=60

Supongamos que es verdad para n y veamos con n+1

6(n+1)^5 +15(n+1)^4 +20(n+1)^3 +15(n+1)^2 + 4(n+1) =

6n^5 + 30n^4 + 60n^3 + 60n^2 + 30n + 6 +

15n^4 + 60n^3 +90n^2+60n + 15 +

20n^3 + 60n^2 + 60n + 20 +

15n^2 + 30n + 15 +

4n + 4

Los 5 términos de la columna izquierda suman un múltiplo de 60 por hipótesis de inducción, luego los otros deben ser múltiplo de 60. Eliminando esos 5 y agrupando los otros queda

30n^4 + 120n^3 + 210n^2 + 180n + 60

Aquí podemos quitar los que son múltiplo de 60 con lo cual queda que debe ser múltiplo de 60 esto

30n^4 + 210n^2 = 30n^2(n^2+7)

Y eso es siempre múltiplo de 60 ya que

Si n es par, n^2 es par y 30n^2 es múltiplo de 60

Si n es impar, n^2 es impar, n^2+7 es par y 30(n^2+7) es múltiplo de 60.

Luego después de todo esto que demostrado que para n+1 se cumple que el valor es múltiplo de 60, luego queda demostrada la inducción.

Y eso es todo.