Sistema de ecuaciones lineales
El mandato dice asi: Encuentre los valores de a, b y c (si es posible) tales que el sistema de ecuaciones lineales tenga a) una única solución; b) no tenga solución y c) un numero infinito de soluciones.
x + y = 2
y + z = 2
x +z = 2
ax + by +cz = 0 Ese es el sistema.
No tengo idea de como hacerlo.
1 Respuesta
Las 3 primeras ecuaciones forman un sistema con tres incógnitas cuya solución sata a la vista
x = y = z = 1
Además la solución es única porque el determinante de la matriz de coeficientes es
| 1 1 0 |
| 0 1 1 | = 1+1 = 2 distinto de cero
| 1 0 1 |
Eso quiere decir que con otra ecuación más podremos o tener esa misma solución o ninguna, pero infinitas es ya imposible porque no las hay entre las primeras. Añadir nuevas ecuaciones pueden disminuir el número de soluciones, nunca aumentarlo.
a) Debe mantenerse la solución (1, 1, 1) luego cualquier ecuación que la cumpla nos sirve
a·1 + b·1 + c·1 = 0
a+b+c =0
Dando a a y b cualquier valor y tomando c = -a -b tendremos una solución única, por ejemplo:
a=1, b=2, c=-3
b) No debe servir la solución (1, 1, 1) luego haremos qu eno se cumpla lo del apartado anterior
Daremos a a y b cualquier valor y a c un valor distinto de -a-b, por ejemplo:
a=-1, b=1, c=1
c) Como decía antes, no puede hacerse que haya soluciones infinitas.
Y eso es todo.
en a) la solución es única, porque dándole esos valores a a,b y c da igual a cero? y en b, distinto a cero?
Dando valores a a, b y c tal que c = -a -b se consigue que la ecuación
ax + by +cz= 0
tenga la solución
x=1
y=1
z=1
entre otras posibles, ya que
a·1 + b·1 + (-a-b)·1 = a+b-a-b= 0
Con ello la solución x=1, y=1, z=1 es solución de las cuatro ecuaciones
Mientras que si se damos un valor c distinto de -a-b entonces la ecuación cuarta no tiene la solución x=1,y=1,z=1 por lo cual no hay solución para las cuatro ecuaciones ya que x=1, y=1, z=1 es la única solución que admiten las tres primeras.
Y eso es todo.
