¿Cuál es el menor numero de dulces?

Sin recibir cambio quiere decir que los caramelos costaran un número entero de dolares.

Pasamos todo a centavos para operar con números enteros, entonces si los caramelos son

N su precio sera 65n y eso debe ser un múltiplo de 100

65n = 100m

dividimos por 5

13n = 20m

Como 13 y 20 son números primos entre sí

Para que esa igualdad sea posible con n y m naturales debe ser n múltiplo de 20, asimismo m debe ser múltiplo de 13

Tomemos los más pequeños que lo cumplen

n=20

m=13

con lo cual 13·20 = 20·13

No hay números naturales más pequeños que cumplan esa igualdad.

Luego la primera vez que no te devuelven cambio es cuando compras 20 caramelos que te cuestan 13 dolares, ese es el menor número de caramelos que puedes comprar sin que te devuelvan cambios. Luego ya si compras 40, 60, 80, ... tampoco te devuelven cambios, pero el menor es 20.

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Hay otra forma de resolverlo que quizá la entiendas mejor

El 65 multiplicado por algo debe ser igual a 100 por algo, entonces hallemos el mínimo común múltiplo de 65 y 100

65 = 5·13

100 = 2^2·5^2

tomamos comunes y no comunes con el mayor exponente

mcm(65, 100) = 2^2 · 5^2 · 13 = 4 · 25 · 13 = 1300

y com 1300 centavos se han comprado

1300 / 65 = 20 caramelos

Y eso es todo.