Problema de matematica funciones con enunciado
En una piscina hi ha un trampolín a 8 m del agua. Un nadador se lanza cogiendo impulso i elevándose 1 m antes de empezar a caer. El nadador llega a el agua a 8 m del borde del trampolín.
A ) Si cogemos com a origen de coordenadas la proyección del extremo del trampolín sobre el agua, y el vértice de la parábola és ( a, b), ¿cuánto vale b?
b) La ecuación del movimiento es
y= k ( x- a)² + 9
justificarla y encuentra k i a .
1 respuesta
La trayectoria que adquieren los cuerpos lanzados al aire con un impulso es una parábola, como las balas de cañón.
Si tomamos como origen de coordenadas la proyección del eje del trampolín tendremos estos puntos de la parábola
Punto de salida (0,8)
Punto de entrada (8,0)
Punto más alto (z, 9)
SI QUIERES PUEDES SALTARTE TODO ESTO hasta que se te indique, lo hice pensando que te preguntaban el valor a de (a, b). Además usé las letras a y b como coeficientes de la parábola y pueden confundirte. No obstante lo dejo por que lo mío me costó hacerlo y está bien.
Veamos si son suficientes
La ecuación de la parábola será
y = ax^2 + bx + c
Por pasar por (0,8):
8 = a·0^2 + b·0 + c = c
Luego c = 8
Por pasar por (8,0)
0 = a·8^2 + b·8 + 8 = 64a + 8b + 8
8a + b + 1 = 0
Por pasar por (z,9)
9 = az^2 + bz + 8
az^2+bz=1
Por tener el máximo en (z,9) debe ser cero la derivada en x=z
y' = 2ax + b = 0
2az+b=0
z =-b/(2a)
Sustituimos este valor en la ecuación que hay por pasar por (z,9)
a [-b/(2a)]^2-b·b/(2a)=1
b^2/(4a) -b^2/(2a) = 1
(b^2 - 2b^2)/4a = 1
-b^2 = 4a
a = -(b^2)/4
Y con este valor vamos a la ecuación que teníamos por pasar por 8(0)
-8(b^2)/4 + b + 1 = 0
-2b^2 + b + 1 = 0
2b^2 - b - 1 = 0
b = [1 +- sqrt(1+8)] / 4
b = (1+-3)/4
b = 1 o -1/2
a = -1/4 o -1/16
El primer sorprendido de que haya dos respuestas soy yo. He hecho las gráficas y he comprobado que ambas cumplen todas las condiciones que habiamos dado, solo que una de ellas atraviesa el punto del trampolín ya decreciendo y la otra crece desde el punto del trampolín. Como desde el trampolín se sale hacia arriba es esta segunda la que sirve que es
b=1 y a=-1/4
Luego la ecuación de la parábola es
y = -(x^2)/4 + x + 8
Ya puedes volver a leer si habias saltado.
a)
El punto b es el más alto. Al estar el eje X a la altura del agua son los 8 metros del trampolín más el metro que se eleva, luego b = 9
b) y = k(x-a)^2 + 9
Como ya decía los cuerpos lanzados hacia arriba describen una parábola. Esa ecuación es la de una parábola, luego podria servir
Con el cálculo hecho en el apartado a) resulta que el vértice dela parábola era el punto (a, 9), veamos a ver si esa parábola pasa por dicho punto
9 = k(a-a)^2 + 9 = k(0)^2 + 9 = 9
Luego pasa por el
Para calcular k hagamos que pase por ejemplo por el punto de entrada en el agua que es (8,0) y el punto de salida del trampolín que es (0,8)
0 = k(8-a)^2+9
8 = k(0-a)^2+9
Despejemos k en la segunda
8=ka^2+9
ka^2 = -1
k = -1/(a^2)
Y vamos a la primera con ese valor
0=-[1/(a^2)](8-a)^2+ 9
-9 = - (64+a^2 -16a)/a^2
-9a^2 = -a^2 + 16a - 64
8a^2 + 16a - 64 = 0
a = [-16 +- sqrt(16^2 + 4·8·64)]/16 = [-16 +- sqrt(256+2048)]/16 = [-16 +- sqrt(2304)]/16 =
[-16 +- 48]/16 = 2 o -4
Cono lo que k = -1/2^2 o -1/(-4)^2 = -1/4 o -1/16
Luego la ecuación de movimiento será una de estas dos
y=-(1/4) (x-2)^2 + 9
y=(-1/16)(x+4)^2+9
Una de las formas de saber cuál de las dos es la buena es hacer la gráfica. Yo la he hecho y se ve que la primera hace el dibujo perfecto de la salida del trampolín y caida posterior, mientra que la segunda pasa por el trampolín pero ya cayendo, luego no sirve.
Entones la respuesta es la primera y el valor que nos piden es:
k = -1/4
Y eso es todo.
