Teoría de ecuaciones: Teorema del Factor
Usar el teorema del factor para determinar si la primera expresión es factor de la segunda:
$$(2x+9);(6x^5+15x^4-56x^3-27x^2-135x-243)$$
1 respuesta
El teorema del factor dice que un polinomio p(x) tiene un factor (x-k) si y solo si k es una raíz de p(x), es decir p(k) = 0
Lo que pasa es que aquí no nos peguntan por un factor x-k sino 2x-k. Debemos hacer una preparativos previos
p(x) = (2x+9)q(x)
p(x) = 2(x+9/2)q(x)
p(x)/2 = (x+9/2)q(x)
Ahora si se puede usar el teorema del factor, así que el problema es equivalente a demostrár que el polinomio dividido por 2 tiene como raíz a -9/2
p(-9/2) / 2 = 0
Pero eso es lo mismo que demostrar
p(-9/2) = 0
6(-9/2)^5 + 15(-9/2)^4 - 56(-9/2)^3 -27(-9/2)^2 - 135(-9/2) - 243 =
-6(59049/32) + 15(6561/16) + 56(729/8) -27(81/4) + 1215/2 - 243 =
-354294/32 + 98415/16 + 40824/8 - 2187/4 + 1215/2 - 243 =
La primera fracción en realidad se podría haber escrito con denominador 16, luego 16 será el denominador común que ponga.
(-177147 + 98415 + 81648 - 8748 + 9720 - 3888)/16 = 0/16 = 0
Luego es cierto que (2x+9) es un factor del polinomio ese largo.
Y eso es todo.
